كيف أحول الدرجة إلى راديان؟

لابد من أنك سوف تحتاج أثناء قيامك بحل المعادلات الرياضية إلى تحويل القياس من الدرجة إلى الراديان، فغالبًا ما تكون المعطيات بالدرجة، وقبل أن أجاوب عن سؤالك، يجب عليك أن تتعرف بشكل مختصر على معنى أن يكون القياس بالدرجة والراديان، ومتى يجب أن تستخدم كل منهما.

 تعدُّ الدرجات وحدة قياس تستخدم بشكل أساسي في قياس مختلف الزوايا، وعلى سبيل المثال، نأخذ الدائري التي تكون مجموع زواياه 360 درجة، وإذا قمت بتقسيمها إلى أربعة أرباع، ستلاحظ أن كل ربع يأخذ 90 درجة بشكل متساوي، ونقوم بترميز قياس الدرجة بالرمز (°)، وبهذا يصبح قياس كل ربع 90°، وهي وحدة قياس شائعة  جدًا حول العالم، وترجع استخدام هذه الوحدة إلى زمن البابليون، حيث أنهم كانوا يستخدمون نظام الرقم 60 الأساسي، كما أنّ الدرجة 360 تعود أيضًا إلى زمن البابليين، حيث كانت تتألف من 360 يوم وكانت السنة 12 شهرًا لكل شهر 30 يوم، فقد كان الدرجة تعادل 60 درجة قوسية (درجة قوسية أو    arc minutes هي وحدة لقياس الزاوية وهي تعادل الزاوية 160 درجة).

 تتعلق نسبيًا بمفهوم الزاوية المركزية، وهذا المفهوم يعني الزاوية التي يكون رأسها متجهًا إلى مركز الدائرة ومنطبقًا عليها؛ أي أن رأس الزاوية هو النقطة (O)، ويكون طول نصف القطر (r) يعادل طول الضلعين لهذه الزاوية المركزية، وهذه الزاوية تحصر بينها قوس من الدائرة ونرمز طول هذا القوس بالحرف (S)، حيث أنّ الراديان لهذه الزاوية المركزية يساوي نسبة طول القوس إلى طول نص قطر الدائرة، ويمكن التعبير عن هذه العلاقة بـ: theta=arc length/radius length=s/r

حيث أنّ الرمز اليوناني تيتا (theta) يشير إلى قياس الزاوية بالراديان، والمصطلح (arc length) هو طول القوس، و(radius length) هي طول نص القطر، وأنّ الدائرة تساوي 360 درجة  تعادل π2 راديان. ويعدُّ مقياس الراديان وحدة رسمية معتمد بشكل رسمي من النظام الدولي للوحدات، حيث تمّ استخدامها في الرياضيات والفيزياء.

قد يبدو كل هذا الكلام السابق مربكًا، لكن لا تقلق، فطريقة تحويل القياس من الدرجة إلى الراديان، أو من الراديان إلى الدرجات، سهلة للغاية وتتم بالقيام ببضع خطوات بسيطة، إليك هذه الخطوات بالترتيب:

أولًا: قم بكتابة الزوايا المقاسة بالدرجات على ورقة، سأقوم بوضع بعض الأمثلة لفهم أفضل:

الزاوية الأولى: 120 درجة.

الزاوية الثانية: 30 درجة.

الزاوية الثالثة: 225 درجة.

ثانيًا: قم بضرب كل زاوية بالكسر التالي: π/180، ويعود سبب ضرب الزوايا بهذا الكسر أنّ الزاوية التي تقاس 180 درجة تساوي π راديان، وذلك يعني أنّ الدرجة الواحدة تساوي (π/180) راديان، وعند ضرب قيم الزوايا بهذا الكسر فإنها تتحول إلى وحدة الراديان، وهنا يجب عليك إزالة الرمز (°) لكي يصبح جوابك صحيح، إليك مثال عن هذه الطريقة:

الزاوية الأولى: 120 × π / 180

الزاوية الثانية: 30 × π / 180

الزاوية الثالثة: 225 × π / 180

ثالثًا: قم بإجراء هذه العملية الحسابية البسيطة بضرب قياس الزاوية بالدرجات بالكسر السابق، عندها سوف تصبح كالتالي:

الزاوية الأولى: 120x π/180 = 120π/180

الزاوية الثانية: 30x π/180 = 30π/180

الزاوية الثالثة: 225x π/180 = 225π/180

رابعًا: قم بتبسيط المعادلة إلى أبسط شكل ممكن للحصول على الإجابة النهائية، قم بالتقسيم على أعداد مثل 1، أو 2، أو 3، ….، وتصبح عندها بالشكل:

الزاوية الأولى: 120x π/180 = 120π/180 ÷ 60/60 = 2/3π radians

الزاوية الثانية: 30x π/180 = 30π/180 ÷ 30/30 = 1/6π radians

الزاوية الثالثة: 225x π/180 = 225π/180 ÷ 45/45 = 5/4π radians

عند التحويل من الدرجة إلى الراديان نحدد عدد الدرجات التي نريد تحويلها إلى واحدة الراديان، مثلًا: 120 درجة.

ويجب أن نبسّط كل كسر إلى أبسط شكلٍ ممكن من أجل الحصول على النتيجة النهائية بشكل دقيق؛ وذلك بإيجاد أكبر عددٍ لنقسّمه على بسط ومقام كلّ كسر. مثلًا نختار الرقم 60 في مثالنا السابق ليصبح الناتج بالشكل التالي: (راديان π 120\180 ÷ 60\60=2\3 π).

وهكذا فإن لكل واحدةٍ وظيفتها في القياس؛ الأمر الذي يبسّط حسابات قياس المسافة والزاوية في الدائرة. وفي الواقع تعتبر الدرجات أكثر فائدة من الراديان في تحديد زوايا الدائرة الداخلية، إلا أن الراديان يعتبر الواحدة الأكثر ملائمةً لتطبيق المعادلات الرياضية ومراقبة القوانين لكونه يقيس المسافة الفعلية لطول الدائرة، وهذا يعطي حسابات دقيقة للمسافة المقطوعة .

كما وتمكننا بعض البرامج الحاسوبية من تحويل قيم الزوايا من الدرجة إلى الراديان بسرعةٍ و سهولةٍ مثل برنامج اكسل الذي يسهّل التعامل مع الدوالّ المثلثية، إلا أن وظائف برنامج إكسل تقيس الزوايا بالراديان بدلًا من الدرجة؛ ولكن بفعل وظيفة (radians) الموجودة في إكسل نتمكن من تحويل الدرجات إلى راديان من خلال اتباع الخطوات التالية:

وهكذا تكون قد حولت قياس الزاوية إلى الراديان فالراديان هو واحدةٌ رياضيةٌ معتمدة في النظام الدولي؛ تستخدم في قياس الزوايا؛ فهي تعبّر عن الزاوية المحدّدة في مركز الدائرة والتي تعين قوسًا مساويًا لنصف قطر الدائرة. والدرجة تعتبر أيضًا واحدة رياضية تستخدم من أجل حسابات قياس الزوايا في النظام الستيني الذي يجزّئ الدائرة إلى 360 جزءًا متساويًا؛ ويعادل كل جزء منها درجةً واحدة.

تقيس واحدة الدرجة مقاطع أو زوايا الدائرة الداخلية؛ في حين أن الراديان يستخدم لقياس المسافات التي تحددها الزوايا على محيط الدائرة؛ مع الأخذ بالاعتبار أن الدائرة تتألف من 360 درجة وهذا يعني أن كل راديان من المسافات التي تحددها الزوايا على طول الجزء الخارجي للدائرة يعادل 57.3 درجة.

وعند التعامل مع حسابات الدوائر والدوال المثلثية في الرياضيات فإننا نحتاج لاستخدام واحدات الدرجة والراديان ومعرفة كيفية التحويل بينهما مع الأخذ بالحسبان أن الدائرة تتألف من 360 درجة وهذا يعادل π2  راديان .