كيف احسب عدد الاحتمالات؟

لكل نوعٍ من الاحتمالات طريقةٌ مختلفةٌ في حسابها، فكيف يمكن حساب عدد الاحتمالات لكل نوع؟ وما هي الخطوات المتبعة؟ والقواعد الأساسية لحسابها؟

تعرف الاحتمالات على أنها عملية حسابية يمكن أن تطبق على مجموعة مختلفة من التطبيقات الحياتية، فنستخدم الاحتمال على سبيل المثال عند توقع ازدياد المبيعات، أو لنعرف فرصة اكتساب عملاء جدد من خلال استراتيجيات متبعة للتسويق، يمكن أيضًا تطبيق الاحتمالات لمعرفة فرص حدوث شيء معين.

أما الاحتمال فيعرف على أنه فرصة وقوع حدث واحد، وهو يشير إلى إمكانية الحصول على نتيجة محددة. عمومًا يوصف الاحتمال على أنه فرصة وقوع حدث ما مقسومًا على عدد النتائج المتوقعة لهذا الحدث.

يمكن أن تكون الاحتمالات مفيدة جدًا في الشركات الاقتصادية، مثل تطوير خطط البيع والتسويق، وحساب التكاليف المحتملة لعمل تجاري معين.

لا بد من توضيح أن هناك فرقًا ما بين الاحتمال والاحتمالات، وسنذكر مثال حجر النرد للتوضيح، سنحسب احتمال الحصول على الوجه ثلاثة عند دحرجته، نحدد أولًا الحدث وهو الحصول على وجه ثلاثة عند الرمي، ثم نقسم على عدد النتائج الإجمالية وهي ستة التي تشير إلى إجمالي وجوه حجر النرد، لذلك الاحتمال سيكون 1/6 للحصول على ثلاثة في المحاولة الأولى، واحتمال عدم الحصول على ثلاثة هو 5/6، أما الاحتمالات فتستخدم عند وقوع أكثر من حدث مثل الحصول على وجهين ثلاثة عند رمي حجرين من النرد، ولحساب الاحتمالات طريقة رياضية بسيطة وهي كالتالي:

أولًا: حدد كل حدث ستقوم بحسابه.

ثانيًا: احسب احتمال وقوع كل حدث.

ثالثًا: اضرب كل الاحتمالات ببعضها.

وبذلك يكون الاحتمالات للحدث السابق هو 1/6 احتمال الحدث الأول مضروبًا ب 1/6 احتمال الحدث الثاني، والناتج هو 1/36.

تمكّننا دراسة الاحتمالات من معرفة النتائج الممكنة لوقوع حدث ما، أو عدة أحداث ممكنة. نظريًا، يمكنك حصر الاحتمالات المؤكّد نتيجتها برقمين، هما الصفر والذي يعبّر عن استحالة وقوع الحدث، والواحد الذي يعبّر عن حدوثه بشكل مؤكّد، مثلًا احتمال أن أراك أنا الآن هو صفر بينما احتمال رؤيتك لأحد أفراد عائلتك هو واحد. وأما لحساب عدد الاحتمالات بشكل عملي ودقيق فيجب أن تفهم بعض المصطلحات:

فضاء العينة: هو جميع النتائج المحتملة والمُقترحة في التجربة.

الحدث: مجموعة جزئية من فضاء العينة.

الاحتمال الذي نريد: نسبة عدد الخيارات الممكنة للحدث إلى عدد عناصر فضاء العينة، وعندما نريد حساب عدد الاحتمالات ، فيجب أن نحسب احتمال وقوع حدث معين بالنظر إلى عدد معين من المحاولات كما في مثال النرد.

التقسيم أو النسبة: هنا يجب أن نقسّم عدد الأحداث الممكنة على عدد النتائج المحتملة، ونسبة أن يظهرالحدث الذي نريده هو 3 موجود مرة واحدة فقط أما النتائج المحتملة فهي 6، وبالتالي الاحتمال هو 1/6.

الاحتمالات وهي إحدى التطبيقات الرياضية التي تمكّننا من حساب احتمال وقوع حدث واحد معين أو عدة أحداث. أما عملياً فيمكننا تعريفه بأنه احتمال وقوع حدث مقسوماً على عدد النتائج المتوقعة للحدث. مثال: يحتوي صندوق على 4 كرات حمراء و3 زرقاء و3 صفراء، فإذا تم سحب كرة بطريقة عشوائية من الصندوق، ما احتمال أن تكون الكرة زرقاء؟

الجواب: الاحتمال الرياضي=p، الحدث الرياضي= 10، a=(عدد المتغيرات الكلّي في المجموعة) n ، 3=(عدد المتغيرات المتعلقة في حساب احتمال الحدث المحدد) r

فيكون لدينا: p(a)=n/r=10/3=0,3

ومن الضروري جداً أثناء حساب الاحتمالات معرفة إن الاحتمال دائماً عدد موجب وأكبر احتمال =1 وهو ما يسمّى احتمال الحدث المؤكّد؛ أي 1>p(a)>0

للاحتمال ثلاثة أنواع، هي:

الاحتمال المنتظم: ويحدث عند تساوي احتمالات العناصر في الظاهرة، مثلًا في تجربة إلقاء حجر نرد، فإن احتمال الحصول على أي عدد من الأعداد الستّة المكوّنة لحجر النرد هو 1/6 وقمنا بحسابه من خلال “احتمال وقوع الحدث مقسومًا على عدد النتائج المتوقعة للحدث”.

الاحتمال الضمني أو الشخصي: هو الاحتمال الذي يتكوّن عند الشخص جرّاء تجربة شخصية أجراها، ويعتمد حساب هذا النوع من الاحتمالات على الطرق التجريبية ودراسة الاحتمالات –التي ممكن أن تتغير من شخص لآخر-.

الاحتمال التكراري النسبي: يرتكز هذا النوع من الاحتمالات على عدّة قواعد وبديهيات تتعلق بحساب نسبة وقوع الحدث على المدى الطويل، فتبدأ بحساب هذا الحدث في ثبات الظروف المحيطة للحدث، ومن ثم تكرر عملية حساب الحدث في محاولات متكرّرة.

ولحساب أنواع الاحتمالات الثلاثة بطريقة دقيقة، يجب التعرّف على العمليات الحسابية، وطريقة تنفيذها بالنسبة للأحداث، وهنا سترى عدّة أنواع للأحداث مثل:

الحدث المستحيل ∅ وهو الذي لا يتضمن أي عنصر من التجربة واحتماله يساوي الصفر،كما في تجربة إلقاء النرد واحتمال أن يظهر العدد 7.

P(∅)=0

الحدثان المتنافيان وهما الحدثين الذي يؤدي تقاطعهما إلى الحدث المستحيل ∅ أي لا يوجد بينهما أي عنصر مشترك: A∩B=∅ وهنا يكون حساب احتماليهما حتمًا يؤول إلى الصفر>

P(A) ∩ P(B)=0؛ وبطبيعة الحال يتم حساب تقاطُع الأحداث ∩ عن طريق معرفة عدد العناصر المشتركة بين الحدثين وتقسيمها على العدد الكلي في التجربة-

الحدثان المتكاملان وهما الحدثان الذي يضم اجتماعهما عناصر التجربة بأكملها وفي الوقت ذاته لا يحتويان أي عنصر مشترك “حدثان متنافيان”، مثل S=1,2,3,4,5,6 وA=1,3,5 وB=2,4,6 ، وهنا يتم حساب الأحداث المتكاملة بهذا الشكل:

P(A∪B) =P(A)+P(B)  when     A∩B=∅

أما في حال لم يكن الحدث متنافيان “أي يوجد بينمها عناصر مشتركة” فيتم حساب اجتماع الحدثين بهذا الشكل:

P(A∪B) =P(A)+P(B)−P(A∩B).

الحدثان المستقلان، أي حدوث أي من الحدثين لا يؤثّر في حدوث الآخر، وتُحسَب الأحداث المستقلة عن طريق:

P(A∩B) =P(B)*P(A)

الاحتمال الشرطي: وهو حدوث الاحتمال A بشرط وقوع الحدث B، ويتم حساب هذا النوع من الاحتمالات على مرحلتين:

الأولى وهي حساب الحدث الشرطي (A/B)، ويكون بحساب اجتماع الحدثين وتقسيمهما على الحدث الذي وقع.

P(A/B)= P(A∩B)\ P(B)

الثانية، وهي تطبيق قانون الاحتمال الشرطي:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B/A)

وبهذا نكون تعرفنا على إجابة سؤال كيف احسب عدد الاحتمالات، ويمكنك محاولة تطبيقها سواء كنت هاويا أو للدراسة ومشاركتنا للنتيجة.