ما هو التفاضل

التفاضل هو الفرع من الرياضيات الذي يتعامل مع مفاهيم المشتقات والتفاضل وطريقة استخدامها في دراسة الدوال. يرتبط تطوره بشكلٍ وثيقٍ بتطور التكامل، إذ يشكل هذا الثنائي معًا قاعدة التحليل الرياضي الذي يعد أمرًا مهمًا للغاية في العلوم الطبيعية والتكنولوجيا.

كان إدخال المتغيرات في الرياضيات بواسطة ديكارت العامل الرئيسي في إنشاء حساب التفاضل. تم إنشاء حساب التفاضل والتكامل من قبل إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنيز في نهايات القرن السابع عشر، ولكن لم يتم إدخال مفهوم النهايات حتى أوائل القرن التاسع عشر من قبل العالم كوشي. وبذلك فقد أطلق التأسياس لعلم التفاضل والتكامل بداية لمرحلةٍ زمنيةٍ جديدةٍ من التطور السريع في الرياضيات والتخصصات التطبيقية ذات الصلة.

يعتقد بشكل عام أن حساب التفاضل قد اكتشف كما ذكرنا سابقا في أواخر القرن السابع عشر من قبل العالمين الرياضيين إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنيز، ومع ذلك فقد أصبح الخلاف حول من اكتشف حساب التفاضل والتكامل أولًا فضيحة كبرى في نهاية القرن الثامن عشر.

ومثله مثل معظم الاكتشافات العلمية، فإن اكتشاف هذا العلم لم ينشأ من فراغٍ، بل في الواقع قام العديد من علماء الرياضيات والفلاسفة بالعودة إلى العصور القديمة باكتشافاتٍ تتعلق بحساب التفاضل والتكامل.

حقق الإغريق القدماء
العديد من الاكتشافات التي قد ننسبها إلى حساب التفاضل والتكامل بعد إعادة النظر
إليها، كما قام علماء الرياضيات الهنود في ولاية كيرالا بتطوير كثيرات حدود لدوال مثل
sinx و cosx
قبل عام 1500.

طور العالم فيرمات في أوائل القرن السابع عشر طريقة لإيجاد قيمة للدالة عندما يكون مشتق هذه الدالة صفر، أي الحل f = (x) = 0، لكن لم يتم حساب تدرجات الظل على المنحنيات بشكلٍ عام إلا في عهد نيوتن وليبنيز.

نتعرف في حساب التفاضل على المعادلات التفاضلية والمشتقات وتطبيقات المشتقات. يتم تعريف مشتق الدالة بالنسبة لأي قيمةٍ معينةٍ على أنه معدل تغير الدوال فيما يتعلق بالقيم المحددة، فالتفاضل هي العملية التي نوجد فيها المشتق من دالة.

نعرّف المشتق بيانياً بأنه ميل الظل الذي يلتقي عند نقطةٍ في المنحنى أو الذي يعطي المشتق عند النقطة التي يلتقي فيها الظل بالمنحنى. للتفاضل العديد من التطبيقات في مختلف المجالات، من الأمثلة الشائعة فحص معدل التغير في درجة حرارة الغلاف الجوي أو اشتقاق معادلاتٍ فيزيائيةٍ معتمدةٍ على القياس والوحدات ... إلخ.

يستخدم علماء الأحياء حساب التفاضل من أجل تحديد المعدل الدقيق لنمو مستعمرات البكتيريا عند تغيير متغيراتٍ مختلفةٍ مثل درجة الحرارة ومصدر الغذاء.

هناك حاجةٌ ماسةٌ إلى التفاضل والتكامل في الفيزياء، فعلى سبيل المثال نحتاجه لحساب مركز الكتلة ومركز الجاذبية ولحساب عزم القصور الذاتي مثلًا لسيارةٍ رياضيةٍ.

يستعمل أيضًا لحساب سرعة ومسار جسمٍ معينٍ، أو من أجل التنبؤ بموقع الكواكب أو لفهم الكهرومغناطيسية.

يستخدمه الإحصائيون لتقييم بيانات الدراسات الإحصائية من أجل المساعدة في تطوير خطط العمل لشركات مختلفة. نظرًا لأن الاستبيان يتضمن العديد من الأسئلة المختلفة مع مجموعةٍ من الإجابات المحتملة، ولذلك فإن حساب التفاضل والتكامل يسمح بتنبؤٍ أكثر دقةً للإجراء المناسب.

يستخدم محللو أبحاث
العمليات حساب التفاضل والتكامل عند مراقبة العمليات المختلفة في الشركات الصناعية.
يمكن أن يساعد هذا الأمر الشركة على تحسين كفاءة العمليات وزيادة الإنتاج وزيادة الأرباح
من خلال دراسة قيم المتغيرات المختلفة.

يستخدم فنان الرسومات حساب التفاضل والتكامل لتحديد سلوكية النماذج ثلاثية الأبعاد المختلفة عند تعرضها لظروفٍ سريعة التغير، إذ يمكن للفنان أن يخلق بيئةً واقعيةً للأفلام أو ألعاب الفيديو.

يتم استخدامه لتحديد
معدل التفاعل الكيميائي وتحديد بعض المعلومات الضرورية لتفاعل التلاشي الإشعاعي
مثلًا.

يستخدم مهندسو رحلات الفضاء حساب التفاضل والتكامل كثيرًا عند التخطيط لمهامٍ طويلةٍ، يجب عليهم مثلًا لإطلاق مسبار استكشافي أن يراعوا سرعات الدوران المختلفة للأرض والكوكب الذي يستهدفه المسبار، وكذلك تأثيرات الجاذبية الأخرى مثل الشمس والقمر.

يتم استخدام حساب التفاضل في الهندسة الكهربائية لتحديد طول كبل الطاقة اللازم لتوصيل محطتين فرعيتين على بعد أميالٍ عن بعضهما البعض.