قانون الميل للخط المستقيم

تتعدد الأمثلة العملية حول مفهوم الميل في حياتنا اليومية، فخلال صعودك لتلٍّ ما، فقد اختبرت بالفعل مثالًا حقيقيًّا على الميل، وكلما كان التل أشد انحدارًا، سيصعب عليك الاستمرار في التحرك نحو الأعلى وستبذل جهدًا أكبر.. مع وضع هذه الحقيقة في عين الاعتبار، فإن الميل هو مقياسٌ لدرجة انحدار الخط واتجاهه. سنتعرف في هذا المقال على قانون الميل للخط المستقيم..

الميل من أهم خصائص الخط المستقيم، ويُرمز له بالحرف (m)، يصف الميل مدى انحدار هذا الخط المستقيم عن المحور الأفقي (محور السينات أو محور X) سواءً اتجه نحو الأعلى أو انخفض.

تتعدد الطرق التي يمكن من خلالها التعبير عن ميل الخط المستقيم:

يمكن إيجاد قانون الميل للخط المستقيم من خلال تحديد نقطتين على الأقل مثل (x₁,y₁) و(x₂, y₂)، يمر بهما هذا المستقيم، وذلك بتطبيق القانون التالي:

خطوات حساب ميل الخط المستقيم في هذه الطريقة:

مثال: لنفترض أن النقطتين (15،8) و (10،7) تنتميان إلى خط مستقيم، فما هو ميل هذا الخط؟

في المثال لدينا نقطتان (15،8) و(10،7)، نحدد إحداهما لتكون النقطة الأولى (A (x₁,y₁ والثانية النقطة B (x₂, y₂)، لنفترض بأن الثانية (B (15،8، والأولى (A (10،7 أخيرًا نعوّض في قانون ميل الخط المستقيم.

في حال بدّلنا النقاط، أي كانت النقطة الثانية (10،7)، والأولى (15،8)، فهل سيختلف الميل؟

بالتعويض في قانون الميل نجد:

لا توجد قاعدةٌ تشير إلى النقطة التي يجب أن تعينها كنقطةٍ أولى أو نقطةٍ ثانية، ما دمت تطرح القيم (قيم x وy) بالترتيب نفسه، ستحصل حتمًا على نفس الإجابة..

ويمكننا تعريف ميل الخط المستقيم (m) هنا أيضًا على أنه حاصل قسمة الارتفاع على المدى، حيث أن الارتفاع هو التغير العمودي (الرأسي) ما بين نقطتين، أما المدى فهو التغير الأفقي ما بين نقطتين:.

يمكن التعبير عن قانون الميل كزاويةٍ بالدرجات أو الراديان، وهي الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ومحور السينات (محور X) ويُرمز لها Q، وذلك حسب القانون:.

الميل = ظل الزاوية

(m = tan(Q

يمكن استخراج الميل من معادلة الخط المستقيم y = mx + b مباشرةً حيث:.

تُسمى المعادلات من هذا النوع، والتي لا تحتوي على أُس (x² مثلًا)، المعادلات الخطية"، لأنها تُرسم دائمًا كخطوطٍ مستقيمةٍ، كما تفيد المعادلة في تحديد النقاط التي تقع على الخط، فمثلًا، الخط المستقيم ذو المعادلة 12+y = 2x النقطة منه التي لها إحداثي x يساوي 4، بالتعويض بالمعادلة يمكن إيجاد إحداثي y لها وهو 20:

12 + y = 2x
12 + (y = 2(4
y = 8 + 12 = 20

اقرأ أيضًا: نظرية فيثاغورث.

يكون الميل الموجب عندما تترافق الزيادة في قيم الإحداثيات X للنقط المكونة للمستقيم، مع الزيادة في قيم الإحداثيات Y، وفي هذه الحالة، فإن الخط ينحدر نحو الأعلى عند النظر إليه من اليسار إلى اليمين.

مثال: لنفترض أن النقطتين (5،17) و(3-،0) تقعان على خط مستقيم، فما هو ميل هذا الخط؟

الحل: النقطة 1: (5،17)، النقطة 2: (3-،0)، ومن قانون الميل نجد:

يكون الميل سالبًا عندما تترافق الزيادة في قيم الإحداثيات X للنقط المكونة للمستقيم، مع النقص في قيم الإحداثيات Y وفي هذه الحالة فإن الخط ينحدر نحو الأسفل عند النظر إليه من اليسار إلى اليمين.

مثال: لنفترض أن النقطتين (-5،-11) و(12-،1) تقعان على خطٍ مستقيمٍ، فما هو ميل هذا الخط؟

الحل: النقطة 1: (-5،-11) النقطة 2:(12-،1)، بتطبيق قانون الميل نجد:

في هذه الحالة، يبدو المستقيم كخطٍ أفقيٍّ يوازي محور السينات، لا يوجد له انحدار نحو الأعلى أو الأسفل.

مثال: لنفترض أن النقطتين (1،1) و (1،-4) تقعان على خط مستقيم، فما هو ميل هذا الخط؟

الحل: النقطة 1: (1،1) ، النقطة 2: (1،-4)، ومن قانون الميل يكون:

في هذه الحالة، يبدو المستقيم كخطٍ عموديٍّ على محور السينات.

مثال: لنفترض أن النقطتين (5،16) و(5،5) تقعان على خط مستقيم. فما هو ميل هذا الخط؟

الحل: النقطة 1 (5،5)، والنقطة 2 (5،16)، ومن قانون الميل نجد:

بما أننا لا نستطيع القسمة على صفر فلا يمكن إيجاد الميل، لذا فإن جميع الخطوط العمودية (الرأسية) ليس لها ميلٌ أو يمكننا القول بأن ميلها ذو قيمةٍ غير مُعرفةٍ (Undefined)..