قانون حساب حجم الاسطوانة

خزانُ مياهٍ أو علبةُ طلاءٍ أو أنبوبُ اختبارٍ أو أي حاويةٍ تحتوي على مقطعٍ دائريٍّ وامتداد معين في الفضاء يطلق عليها الأسطوانة، فما هي الأسطوانة؟ وكيف يتم حساب حجم الاسطوانة ومساحتها السطحية؟

قبل التحدث عن حجم الاسطوانة وخصائصها يجب أن نتعرف على الهندسة ثلاثية الأبعاد.

يمكن تقسيم الهندسة إلى نوعين:

تتعامل الهندسة المستوية مع الأشكال ثنائية الأبعاد أو الأشكال المسطحة مثل الخطوط والمنحنيات والمضلعات وغيرها من الأشكال التي يمكن رسمها على قطعةٍ من الورق، أما الهندسة الفراغية فتهتم بدراسة الأشكال ثلاثية الأبعاد مثل الأسطوانات والمكعبات والكرات وغيرها من الأشكال التي يتم قياسها في 3 اتجاهات. الفرق الوحيد بين الأشكال الثنائية الأبعاد والأشكال ثلاثية الأبعاد هو وجود العمق أو الارتفاع، وتستخدم هذه الأشياء بشكلٍ كبيرٍ في حياتنا اليومية.

في الأشكال ثلاثية الأبعاد تسمى الأسطح المسطحة الوجوه، ويسمى الخط الذي يلتقي فيه وجهانٌ بالحافة والنقطة التي تلتقي فيها الحواف الثلاثة تسمى الرأس.

هي مجسمٌ هندسيٌّ شائعٌ جدًا في الحياة اليومية، له نهايتان دائريتان تسميان القواعد، وتكونان دائمٍا متطابقتين ومتوازيتين، وإذا قمنا بفك الاسطوانة فسنجد أن جانبها عبارةٌ عن مستطيلٍ. وللأسطوانة عدة مصطلحاتٍ مرتبطة بها وهي:

يعبر عن حجم الاسطوانة بالعلاقة التالية:
V = π r² h أي مساحة القاعدة * الارتفاع

إذا كان لدينا أسطوانة نصف قطرها 8 سم وارتفاعها 15 سم، احسب حجم الاسطوانة .

الحل:

 نقوم بتبديل المعطيات في علاقة الحجم:

V = π r² h= 3.14 * 8² * 15 = 3014.4 cm³

أي حجم الاسطوانة حوالي 3014 سم مكعب.

برنامج لحساب الحجم

أدخل نصف قطر الاسطوانة

أدخل طول الاسطوانة

المساحة السطحية لشكلٍ ما هي مجموع مساحة كل وجوهه، لحساب مساحة الأسطوانة الجانبية يجب حساب مساحة قواعدها وإضافة ذلك إلى مساحة جدارها الخارجي.

تعطى صيغة مساحة الاسطوانة الكلية بالعلاقة:

S = 2πr² + 2πrh

S₁ = 2πr²

لحساب مساحة القواعد الدائرية نحتاج لتحديد قيمة نصف قطر القاعدة r، إذا كان قطر الدائرة معروفًا فما علينا سوى تقسيمه على 2، أما إذا كان المحيط معروفًا فيمكن تقسيمه على 2π للحصول على نصف القطر، إذا لم يكن أي منهما معروفًا فيمكن استخدام المسطرة لقياسه.

بعد معرفة قيمة نصف القطر نقوم بتعويضه بالعلاقة السابقة وتعويض قيمة π  بـ 3.14

S₂ = 2πrh

نحسب أولًا محيط القاعدة الدائرية وفق العلاقة:

A = 2πr

بتعويض نصف القطر بالعلاقة نحصل على المحيط.

نقوم بضرب الارتفاع h بمحيط القاعدة الدائرية للحصول على مساحة السطح الجانبي للأسطوانة:

S₂ = A*h

بعد حساب كل من مساحة القواعد الدائرية ومساحة السطح الجانبي للأسطوانة نقوم بجمع المساحتين للحصول على المساحة السطحية الكلية للأسطوانة، وتقاس بوحداتٍ مربعةٍ.

S = S₁ + S₂

إذا كان لدينا أسطوانة نصف قطرها 3 سم وارتفاعها 10 سم، احسب مساحة الاسطوانة الكلية.

الحل:

أولاً: حساب مساحة القواعد الدائرية بتبديل قيمة نصف القطر r بالعلاقة التالية:

S1 = 2πr²

²(3) (3.14) 2 =

56.52cm² =

ثانياً: حساب محيط القاعدة الدائرية:

(3) (3.14) 2 = A = 2πr

11.42cm =

ثالثاً: حساب مساحة السطح الجانبي للأسطوانة:

10 * 11.42 = S₂= 2πrh

114.2cm² =

رابعاً: حساب المساحة السطحية للأسطوانة:

S = S₁ + S₂

114.2 + 56.52 =

170.72cm² =

أي مساحة الاسطوانة الكلية حوالي 171 سم مربع.