نظرية فيثاغورس بالمثلث قائم الزاوية
لعلماء الرياضيات مساهمات كبيرة في تطور العالم من خلال ما توصلوا إليه، فعلوم الرياضيات والمسائل الحسابية التي توصلوا إليها كان لها دورًا بارزًا في مختلف المجالات. ومن هؤلاء العلماء الذين سطع نجمهم، العالم فيثاغورس صاحب أشهر نظرية، وهي نظرية فيثاغورس .
تعريف نظرية فيثاغورس
هي واحدةٌ من أشهر المبرهنات الرياضية وأكثرها استخدامًا، سميت على اسم عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني فيثِاغورس. وهي قديمةٌ جدًا حيث كانت شائعةً لدى الحضارات القديمة.
بلغت سعادة فيثاغورس باكتشاف النظرية لدرجةٍ أنه قدم ذبيحةً من الثيران. هذه النظرية مبنيةً على المثلثات المتضمنة زاوية قائمة، وتنص على ما يلي:
- مربع الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.
- مجموع مساحة المربعين القائمين على طول ضلعي الزاوية القائمة في المثلث القائمة يُساوي مساحة المربع القائم على الوتر في المثلث القائم.
تفرع عن هذه النظرية الكثير من البراهين، البراهين الكلاسيكية من فيثاغورس، إقليدس، دافنشي، نيوتن، بهاسكارا، آينشتاين، غارفيلد وغيرهم الكثير. تتضمن هذه البراهين رسومًا متحركةً جذابةً وذكيةً.
وقد تبين استخدام النظرية في السابق من قبل الهنود والبابليين، أي أنه ليس فيثاغورس من اكتشفها لكنه صاحب الفضل في إثباتها (هو أو طلابه)، كما إنه لا يوجد معلوماتٌ دقيقةٌ أنه هو من اكتشفها أو حتى أثبتها.
أهمية نظرية فيثاغورس
لنظرية فيثاغورس عدة استخداماتٍ، ومن هذه الاستخدامات:
- تبين لنا شكل ونوع المثلث، فعندما يكون مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين فيكون ذلك مثلثًا قائمًا، وعندما يكون مربع الوتر أطول من مربع الضلعين الآخرين معًا يكون المثلث منفرجًا، وإذا كان مربع الوتر أقل من مربع الضلعين الآخرين معًا عندها يكون المثلث حادًا.
- تساعد في حساب أطوال الأضلاع المخفية، ليس فقط في المثلثات وإنما في المربعات والمستطيلات أيضًا.
- بمساعدة النظرية يحافظ البناؤون على القياسات الصحيحة للزوايا في بناء المنازل والمباني.
أمثلة على استخدامات النظرية
مثال 1
أ ب ج هو مثلث قائم الزاوية. ابحث عن طول الوتر ب ج علمًا إن الضلعين أب= 3 و ج أ= 4
الحل: بناءً على نظرية فيثاغورس
- (طول الوتر) ² = (مربع الضلع الأول) ² + (مربع الضلع الثاني) ²
- ب ج² = أب² + ب ج²
- ب ج²= 3²+4²
- ب ج² =9+16 =25
وبعد حساب الجذر التربيعي تصبح النتيجة: ب ج = 5
مثال 2
أ ب ج هو مثلث قائم الزاوية. ابحث عن طول الضلع ب علمًا إن طول الوتر ج =13 وطول الضلع أ=5
الحل: بناءً على نظرية فيثاغورس
- (طول الوتر) ² = (مربع الضلع الأول) ² + (مربع الضلع الثاني) ²
- 13² = 5 ² + ب ²
- 169 = 25 + ب²
- ب² =169 -25 =144
وبعد حساب الجذر التربيعي تصبح النتيجة: ب = 12.
مثال 3
أ ب ج هو مثلث أطوال أضلاعه (13،12،6)، هل هو مثلث صحيح؟؟؟
الحل: بناءً على نظرية فيثاغورس، يجب أن يكون الجانب الذي طوله 13 هو الوتر إذا كان مثلثًا صحيحًا، أي:
- 13² =169
- 12²+6²= 36 + 144 =180
- 13²≠ 180
نتوصل لنتيجةٍ إنه ليس مثلثًا صحيحًا.
مثال 4
أراد أحد الأشخاص إجراء تعديلٍ بسيطٍ في منزله، بتحويل درج يصل بين الأرض ورواق البيت الخلفي إلى منحدرٍ. يبلغ ارتفاع شرفة المنزل عن الأرض 3 أمتار ويبلغ طول الأرض 12 قدمًا من قاعدة الشرفة، فكم سيكون طول المنحدر؟؟؟
الحل
باستخدام نظرية فيثاغورس سنفترض أنه لدينا مثلث قائم، سنفترض ارتفاع الشرفة (أ) وطول الارض (ب) والمنحدر (ج)، لنتمكن من حساب (ج) علينا القيام بالمعادلة التالية:
- ج²= أ² + ب²
- ج²= 3² + 12² =9 + 144
- ج²= 135
وبعد حساب الجذر التربيعي تكون النتيجة: ج = 12,4
أي طول المنحدر سيكون 12,4 قدمًا.
مثال 5
مراكب شراعية لديها شراعٌ كبيرٌ في شكل مثلث قائم. يبلغ طول الحافة الأطول للإبحار 17 ياردة، والحافة السفلية للإبحار 8 ياردات. كم يبلغ طول الشراع؟
الحل
باستخدام نظرية فيثاغورس سنفترض أن الحافة الأطول هي (ج) والحافة السفلية (ب) وطول الشراع ( أ )، سنحسب طول الشراع بناءً على المعادلة الأتية:
- ج² =أ² + ب² بناءً عليه فإن
- أ²= ج ² – ب²
- أ²= 289 -64 = 225
وبعد حساب الجذر التربيعي تكون النتيجة: أ = 15
أي طول الشراع 15 ياردة.
عكس نظرية فيثاغورس
يقول نص العكس من نظرية فيثاغورس:
إذا كان لدينا مثلث مربع أطول ضلع فيه يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، عندها يكون المثلث قائمًا والزاوية المقابلة للضلع الأطول هي الزاوية القائمة.
مثال 1
لدينا مثلث أطوال أضلاعه: 5 سم، 12 سم، 13 سم.
هل المثلث قائم الزاوية؟
الحل:
أطول ضلع فيه 13سم
13²= 169
الضلعين الآخرين
12² + 5² =25 + 144 =169
حسب عكس نظرية فيثاغورس إنه مثلثٌ قائمٌ.
مثال 2
لدينا مثلث أطوال أضلاعه: 8 سم، 9 سم، 12 سم.
هل المثلث قائم الزاوية؟
الحل
أطول ضلع فيه 12 سم
12²= 144
الضلعين الآخرين
8² + 9² =81 + 64 =145
حسب عكس نظرية فيثاغورس إن المثلث ليس قائمًا.
نقوم بعملية الجمع في نظرية فيثاغورس عندما يكون لدينا ضلعين قائمين ومطلوب الوتر, أما عملية الطرح في نظرية فيثاغورس نقوم بها عندما يكون لدينا وتر وضلع قائم.
لايمكن تطبيق نظرية فيثاغورس على جميع المثلثات حيث يمكن تطبيقها فقط على المثلث قائم الزاوية.