شرح اللوغاريتمات وطرق حسابها

من منا لم يسمع باللوغاريتمات خلال مراحل تعلم الرياضيات المختلفة، ويتعلم طريقة استخدامها والاستفادة منها في كثيرٍ من العمليات الحسابية. لكن قد يظن البعض أنها مجردُ معلوماتٍ نظرية ليست ذات فائدةٍ في المجالات العملية. لذلك سنحاول معًا استذكار ماهي اللوغاريتمات وطرق استخدامها وبعض من خصائصها.

اختُرعت اللوغاريتمات (Logarithms) في القرن السابع عشر لتسهيل العمليات الحسابية، حيث قللت الوقت اللازم لعمليات جداء عددٍ من الأرقام، واستُخدمت بشكلٍ كبيرٍ لأكثر من 30 عامًا، حتى اختراع الآلات الحاسبة في أواخر القرن التاسع عشر.

تدل اللوغاريتمات على القوة التي يجب أن يزداد رقم محدد وفقها للوصول إلى رقمٍ آخر، ولعل المثال التالي يُساعد في توضيح الفكرة بشكلٍ أفضل:

يدعى ذلك لوغاريتم الأساس 10؛ لأن الرقم 10 هو المرفوع للقوة، فالأساس هو الرقم المرفوع إلى القوة، حيث توجد لوغاريتمات تستخدم وحدات أساس مختلفة كما في المثال التالي:

لكن بشكلٍ عام؛ إنّ أكثر اللوغاريتمات استخدامًا يكون للأساس 10، وتُكتب بالشكل النموذجي log(a) = r، إضافةً للوغاريتمات الطبيعية، أي عند رؤية الرمز log يعني أن الأساس 10، وعند رؤية الرمز In يعني أن الأساس هو العدد النبري (e).

في عام 1614، توصّل عالم الرياضيات الإسكتلندي جون نابير إلى ما يُعرف باسم اللوغاريتمات بناءً على عمليات مقارنة بين المتواليات الحسابية والمتواليات الهندسية؛ حيث يُعتبر كلّ حدٍّ من حدود المتواليات الهندسية نسبةً مشتركةً مع الحد الذي يليه، فمثلًا في المتوالية:

……./1000,1/100,1/10,1,10,100,1000……...

تكون النسبة 10، بينما يختلف كلّ حدٍّ عن الذي يليه بمقدارٍ ثابتٍ في المتوالية الحسابية تُعرف بالفرق المشترك، فمثلًا في المتوالية …..-3,-2,-1,0,1,2,3…… يكون الفرق المشترك 1. بالمقارنة، وُجد أن المتوالية الحسابية يمكن كتابتها بالاعتماد على النسبة المشتركة فيكون:

أي أن مضاعفة رقمين في المتوالية الهندسية يُساوي إضافة الأسس المتناظرة من النسبة المشتركة فيكون:

يمكن معرفة لوغاريتم الأساس 10 من خلال طريقةٍ محددةٍ، كما في الأمثلة:

أما لإيجاد لوغاريتم الأعداد الأخرى غير 10، فلا بدّ من استخدام الآلة الحاسبة أو جدول اللوغاريتمات فقط يجب إدخال العدد في الآلة الحاسبة، ثم الضغط على مفتاح Log أو In مثلًا:

أما لتحديد الرقم الصحيح من الأرقام المعنية لكل لوغاريتم، يجب معرفة أن الرقم على يسار الفاصلة العشرية يُدعى المميز (Characteristic)، والرقم على يمين الفاصلة العشرية يُدعى الجزء العشري من اللوغاريتم (Mantissa)، حيث يُحدد المميز مكان الفاصلة العشرية للرقم، ولهذا لا تستخدم عند تحديد أحد الأرقام المعنوية؛ أما الجزء العشري فيتضمن الرقم الذي أوجده اللوغاريتم؛ وبالعودة إلى المثال السابق نجد:

الرقم هنا لديه 3 أرقام معنوية، لكن اللوغاريتم ينتهي عند الرقم المعنوي الخامس؛ لأن الجزء العشري لديه 3 والمميز لديه 2.

يُرمز له LOG(10) أوLOG، وتُعبر عنه الصيغة:

هذا يعني أن:

يمكن القول إن لوغاريتم الأساس 10 هو اختصارٌ للأسس، ويُستخدم لتحويل عمليات الجداء إلى عمليات جمعٍ، ما يعني تشابه قواعد الأسس مع قواعد اللوغاريتمات مثلًا:

تُدعى أيضًا لوغاريتمات الأساس e وهو العددٌ النبريٌّ (....e=2.71828182845)، ويُرمز له بالصيغة Log(e) أو In(e)، ويُعبر عنه بالعلاقة:

كما أن:

اعتمد علماء الرياضيات بشكلٍ كبيرٍ على اللوغاريتمات لما تتمتع به من خصائصَ جعلت من السهل تنفيذ العمليات الحسابية الطويلة والمملة، فمثلًا أصبح بالإمكان إيجاد ناتج رقمين m و n من خلال الوصول إلى لوغاريتم الرقمين وجمعهما معًا إلى جدولٍ خاص، يُمكن الرجوع إليه لإيجاد الرقم المتعلق باللوغاريتم المحسوب، والذي يُدعى مقابل اللوغاريتم Antilogarithm.

يُمكن تمثيل هذه العلاقة بالصيغة:

من خلالها يُمكن حساب مثلًا 100*1000 عن طريق البحث عن لوغاريتم 100 قوة 2 ولوغاريتم 1000 قوة 3، وجمع اللوغاريتمين معًا، ليُصبح 5، ثم إيجاد مقابل اللوغاريتم وهو 100000 من الجدول.

بشكلٍ مُشابهٍ تمامًا يُمكن تحويل عملية القسمة إلى عملية طرح من خلال اللوغاريتمات ووفق الصيغة التالية Log(m/n)=Log(m)-Log(n)، إضافةً لإمكانية تبسيط القوى والجذور من خلال اللوغاريتمات أيضًا.