مقارنة الاعداد الطبيعية والكسرية والعشرية
لطالما كانت مادة الرياضيات من أصعب المواد في حياتنا الدراسية، فالكثير من الطلاب يعتبرونها مادةً صعبة الفهم ويحتاجون إلى وقتٍ طويلٍ ليستطيعوا حلّ مسائلها، ولكن مع التطور الكبير في التكنولوجيا، أصبح الطالب قادرًا على الاستعانة بمختلف المواقع التعليمية على شبكة الإنترنت، والتي تساعدتهم من خلال الشرح المفصل والأمثلة المناسبة، وهذا ما سنقوم به في مقالنا، حيث سنشرح طريقة مقارنة الاعداد مع بعض الأمثلة المساعدة.
مقارنة الاعداد
أو بالإنكليزية (Comparing Numbers)، وتمّ تعريفها في القاموس بأنها فعل عرض شيء مرتبط بشيءٍ آخر؛ أي تحديد إذا ما كانت قيمة ما، أكبر أو أصغر أو تساوي قيمة أخرى، وذلك عن طريق ملاحظة الاختلافات بين الأرقام أو الكميات، ويمكن استخدام خط الأعداد للمقارنة بين الأعداد، حيث يكون الرقم الأكبر إلى اليمين، بينما الرقم الأصغر إلى اليسار (في حال اخترت رقمًا، فهو أكبر من ذاك الموجود على يساره، وأصغر من الموجود على يمينه).
.
مقارنة الاعداد الطبيعية
قبل أن نبدأ بأسس المقارنة، يجب أن نتعرف على الإشارات والرموز المستخدمة في مقارنة الاعداد، ومنها:
- الإشارة (=): وتستخدم للتعبير عن تساوي القيمتين، وعلى سبيل المثال 2+2=4.
- الإشارتان (<) و(>): واللتان تستخدمان للمقارنة بين قيمتين غير متساويتين، بحيث تكون:
- القيمة الكبيرة (>) القيمة الصغيرة (وتسمى أكبر من)، كمثال 9>6.
- القيمة الصغيرة (<) القيمة الكبيرة (وتسمى أصغر من)، مثل 3<5.
ولدينا قاعدتان أساسيتان نستخدمهما لمقارنة أي عددين:
- القاعدة الأولى: العدد الذي يملك عددًا أكبر من الأرقام (أو المنازل)، يكون دائمًا أكبر من العدد الذي يملك عددًا أقل من الأرقام (بشرط ألا يكون هناك أصفار على يسار العدد مثل 008، كأن نقارن بين 008 و80، ففي هذه الحالة ليست للصفر في العدد الأول أية قيمة! وبإمكانك الاستغناء عن الأصفار اليسارية والمقارنة بعد ذلك).
- القاعدة الثانية: عندما يكون للعددين نفس عدد المنازل، نبدأ بمقارنة الأرقام من أقصى اليسار، في حال كانت أوائل الأرقام في العددين متساوية، نستمر في الانتقال إلى الرقم المجاور حتى نصل إلى أرقامٍ غير متساويةٍ، وأكبرها هو الذي يحدد العدد الأكبر بينهما.
الاعداد المكونة من رقمين أو منزلتين
عند مقارنة الاعداد المكونة من رقمين، نقوم بالخطوات التالية:
- ننظر إلى خانة العشرات أولًا (أقصى اليسار كما قلنا)، فإذا كانت العشرات أكبر في إحدى العددين، سيكون هذا العدد أكبر، مثل المقارنة بين 62 و37، الرقم 6 في مرتبة عشرات العدد الأول أكبر من الرقم 3 الذي هو مرتبة العشرات في العدد الثاني، ومنه العدد 62 اكبر من العدد 37.
- أما في حال كانت مرتبة العشرات هي نفسها في كِلا العددين، فسوف نحتاج إلى مقارنة الآحاد، حيث يكون العدد الذي يحتوي على رقم أكبر في الآحاد هو العدد الأكبر، مثل المقارنة بين العددين (57 و52)، نلاحظ أن العشرات في كلا العددين متساوية، لكن بالنظر للآحاد نجد أن الرقم 7 أكبر من الرقم 2 و منه العدد 57 أكبر من العدد 52.
الاعداد المكونة من ثلاثة أرقام
أما عندما نقارن بين الأعداد المكونة من ثلاثة أرقامٍ، نقوم بالخطوات التالية:
- نبدأ أولًا بمقارنة منزلة المئات، فيكون العدد الذي يملك الرقم الأكبر في خانة المئات هو العدد الأكبر، مثل العددين 464 و285، ونلاحظ أن الرقم 4 أكبر من الرقم 3 و منه العدد 456 أكبر من العدد 385؛ أي 464>285.
- أما في حال المئات المتساوية، نقارن عندها بين العشرات أولًا، على سبيل المثال، العددين (742 و723)، نلاحظ أن الرقم 4 أكبر من الرقم 2 ومنه العدد 742 أكبر من العدد 723؛ أي 742>728.
- أما إذا كانت المئات والعشرات متساوية، حينها ننظر إلى الآحاد ونقارن بينهما، مثل العددين 247 و245، ونجد أن الرقم 7 أكبر من الرقم 5 ومنه العدد 247 أكبر من العدد 245؛ أي 742>728.
الاعداد الكبيرة
في الحياة العملية، نحتاج في كثيرٍ من الأحيان إلى مقارنة الاعداد الكبيرة لمعرفة أيهما أكبر وأيهما أصغر، كأن تقوم بالمقارنة بين مبلغين كبيرين من المال، وبهذه المقارنة نستطيع اختيار المبلغ الأكبر. كلما زاد عدد المنازل، زادت قيمة العدد (بشرط ألا يكون هناك أصفار على يسار العدد كما أسلفنا الذكر)، أما إذا كان للعددين نفس عدد المنازل، فإن العدد الذي يحتوي على رقمٍ أكبر على الجانب الأيسر يكون هو العدد الأكبر، أما إذا كانت الأرقام الموجودة في اليسار هي نفسها في كلا العددين، فعندها نقارن الرقم التالي إلى اليمين وهكذا (كما قلنا في القاعدة الثانية أعلاه).
.
أمثلة عن مقارنة الاعداد الكبيرة ذات المنازل الكثيرة:
| المثال | السبب |
|---|---|
| 2186775 > 406629 | العدد الأول يتكون من 7 أرقام، أما العدد الثاني يتكون من 6 أرقام |
| 6981003 > 3887150 | عدد المنازل متساوٍ، الرقم الأول من جهة اليسار في العدد الأول أكبر من الرقم الأول من اليسار في العدد الثاني، وبالتالي العدد الأول أكبر من العدد الثاني |
| 6821021 > 6575987 | الخانة الأولى من اليسار نفسها في كلا العددين، ولكن الخانة التالية أكبر في العدد الأول منه في العدد الثاني، بالتالي العدد الأول أكبر |
| 756983701 > 756683701 | المنازل الثلاثة الأولى متساوية، ولكن المنزلة الرابعة أكبر في العدد الأول، بالتالي فهو أكبر |
| المثال | السبب |
|---|---|
| 64283 > 63198 | لأن عشرات الألوف متساوية، وبمقارنة الرقم الثاني باتجاه اليمين نجد أن 4>3 |
| 24567 > 22381 | لأن عشرات الألوف متساوية، وبمقارنة الرقم الثاني باتجاه اليمين نجد أن 4>2 |
| 83643 > 83449 | لأن آحاد وعشرات الألوف متساوية، وبمقارنة الرقم الذي يلي آحاد الألوف (المئات) نجد أن 6>4 |
| 367825 > 367543 | لأن خانة الألوف متساوية في العددين (367)، وبمقارنة الرقم الذي يلها نجد أن 8>5 |
مقارنة الاعداد العشرية
كما قلنا، أثناء مقارنة الاعداد الطبيعية، نقارن في البداية العدد الكلي للأرقام في كلٍّ من الأعداد، وإذا كانت متساويةً، فإننا نقارن الأرقام الموجودة في أقصى اليسار، إذا كانت متساوية نقارن الأرقام التالية لها من اليمين وهكذا، نتبع نفس النمط أثناء مقارنة الكسور العشرية ولكن مع الانتباه إلى أن العدد العشري يتكون من جزءٍ صحيحٍ وجزءٍ عشريٍّ، وللمقارنة يوجد بعض الحالات المختلفة، منها:
- العدد العشري الذي يحتوي على الجزء الصحيح الأكبر هو أكبر، على سبيل المثال: 5.4 أكبر من 3.98.
- إذا كانت الأجزاء الصحيحة في العددين متساويةً، فعندها نقارن الأرقام في خانة الجزء العشري، والعدد العشري الأكبر هو الذي يملك رقم أكبر في خانة الجزء العشري، على سبيل المثال، 9.85 أكبر من 9.65.
.
مقارنة الاعداد الكسرية
في مقارنة الاعداد الكسرية، لدينا الحالات التالية:
- البسط مختلف والمقام نفسه: نقول هنا أن العدد الذي يملك البسط الأكبر هو العدد الأكبر، وإليك صورة توضح صحّة المقارنة.
- المقام مختلف والبسط نفسه: نقول هنا أن العدد الذي يملك المقام الأصغر هو العدد الأكبر.
- المقام والبسط مختلفان: نقوم عندها بإحدى الطريقتين:
- إما أن تتم المقارنة عن طريق تغيير المقامات إلى عدد مشترك (توحيد المقامات)، وذلك بضرب البسط والمقام في كل من الكسرين بعددٍ ما بحيث يصبح للكسرين المقام المشترك نفسه، ونتبع عندها الطريقة الأولى السابقة.
- أو نقوم بتوحيد البسوط، وذلك بضرب البسط والمقام في كلا الكسرين بعددٍ ما بحيث يصبح للكسرين البسط نفسه، وعندها نتبع الطريقة الثانية السابقة.
.
وبهذه الطرق البسيطة نستطيع مقارنة الاعداد المختلفة بسرعةٍ وسهولةٍ تامةٍ لمعرفة أي هذه الأعداد أكبر أو أصغر من الأخرى.