حل المعادلات الاسية Solving Exponential Equations

المعادلات الأسية هي المعادلات التي يكون فيها أحد المتغيرات (x ،y ،z...) في خانة الأس (أعلى رقم أو متغير آخر). أما عن الأسس فهي الأعداد الثابتة الحقيقيّ، لتمثّل المعادلات الأسيّة طريقةً بسيطةً للتعبير عن عملية تكرار الضرب، ويعتمد حل المعادلات الاسية بالأساس على خواصها تلك، والصورة التالية توضح الصيغة الرياضية للمعادلة الأسية:

هذا النوع من المعادلات تتمحور حوله العديد من القوانين والنظريات، وتوجد منها الصور المعقدة والبسيطة، ولكل صورةٍ طريقة حلٍ، وسنناقش هذا معًا.

بعد أن عرفنا ما هي المعادلات الأسية، سنتطرق الآن إلى طرق حلها. توجد طريقتان في حل المعادلات الاسية تكون الطريقة الأولى بسيطةً للغاية ولكن تتطلب صيغةً مبسطةً من المعادلة الأسية. أما الطريقة الثانية فتعمل على المعادلات الأسية الأكثر تعقيدًا، ولكنها تتطلب تركيزًا عاليًّا.

لنبدأ بالطريقة الأبسط، وهي طريقةٌ تعتمد على حقيقةٍ مرتبطةٍ بالدالة الأسية، وهي أنّه إذا تساوت الأسس؛ فإن الأس يساوي الأس (تتساوى القوى)، بشرط أن يكون الأساس أكبر من صفر، ولا يساوي الواحد.

طبقًا للمذكور أعلاه، فإن حلول هذه الأمثلة تكون كالآتي:

بالرغم من أن طريقة الحل السابقة تعمل مع الأمثلة البسيطة السابقة، إلا أنها لا تعمل مع كل الصيغ البسيطة. انظر إلى المعادلات التالية:

وعلى سبيل المثال فلنتأمل المعادلة (a):

المعادلة السابقة بسيطةٌ للغاية، ولكن لا نستطيع حل المعادلات الاسية من ذلك النمط بالطريقة السابقة، فلا تنطبق عليها القاعدة الخاصة بتساوي الأساسات. لذا فالطريقة الأمثل هنا هي اتخاذ لوغاريتم log الطرفين، وذلك لأن من سمات اللوغاريتمات أنها تنزل الأس من مكانه ليصبح بمعزلٍ عن الأساس تقريبًا. أي أن:

log_ba^r=rlog_ba

بعد تطبيق الخطوة السابقة على الحد الأيسر للمعادلة الراهنة، يصبح شكل الحد كالتالي: xlog7. وبعد أن وصل شكل الحد لهذا الشكل، يمكن فصل المتغير عن الأعداد ومن ثم حساب قيمته بشكلٍ مباشرٍ.

xlog(7) = log(9)
x = log(9)/log(7)
= 1.1291500

الأمثلة في الصورة السابقة تنطبق عليها طريقة حل المعادلات الاسية السابقة (اتخاذ اللوغاريتم للطرفين)، وسوف نطبق ذلك معًا في المثال (b):

في المثال السابق، استخدمنا الطريقة الثانية الأكثر تعقيدًا في حل المعادلات الاسية لذلك شرحنا لكم خطوات الحل بشكلٍ مفصلٍ منعًا للاتباس. قد يختلف شكل المعادلات الأسية التي تحتاج هذه الطريقة، ولكن الحل واحدٌ، فقط يتطلب الأمر بعض التركيز.

هناك طريقة تبسط معظم أشكال المعادلات الأسية وتصل إلى الحل بطريقةٍ سريعةٍ، ولكنها تحتاج بعض الدقة والتركيز، هذه الطريقة تسمى التحليل إلى عواملَ ثلاثيةٍ (Factorise the Trinomial). وهذه الطريقة تعتمد على تحويل شكل المعادلة إلى ثلاثة حدودٍ، حدان في طرفٍ والحد الآخر عبارةٌ عن صفرٍ في الطرف الآخر، والفكرة هي أنّه إذا كان هناك حدان مضروبان وحاصل ضربهما يساوي الصفر، فإن كل حدٍ منهما يساوي الصفر، وبذلك نستطيع العمل على الحد الواحد بشكلٍ منفصلٍ في صورة معادلةٍ أبسط ونصل إلى قيمة المتغير.

المثال في الصورة السابقة من الأمثلة التي يمكن حل المعادلات الاسية فيها بطريقة تحليل العوامل كما قلنا، وسنرى طريقة الحل الآن: