النسب المثلثية.. ما هي وكيف تحسب؟
تم التدقيق بواسطة: فريق أراجيك
النسب المثلثية.. تاريخيًا، علم المثلثات هو دراسة المثلثات، ويعني الاسم حرفيًا: قياس المثلثات، وتبدأ بدراسة المثلثات القائمة أي التي تملك زاوية واحدة قياسها 90 درجة. واليوم يعتمد معنى النسب المثلثية على ما نقصده بأجزاءٍ من الرقم. وعادةً نسمي الأجزاء بأرقامٍ ترتيبيةٍ، كالجزء الثالث أو الرابع أو الخامس وهكذا.
النسب المثلثية: الأعداد الطبيعية الأصلية والترتيبية
الأعداد الطبيعية هي الأعداد القابلة
للإحصاء، ولها شكلان:
- الأرقام الأصلية: وهي واحد اثنان، ثلاثة وهكذا، وهي التي تكون إجابة عن أسئلة مثل: كم عدد؟ أو كم يبلغ؟
- الأرقام الترتيبية: أي الأول والثاني والثالث... إلى آخره.
النسب المثلثية Trigonometric Ratios
Trigon هو الاسم الإغريقي للمثلث triangle، كما أن metric هي مقياس عند الإغريق.
والنسب المثلثية هي مقاييسٌ خاصةٌ للمثلث القائم (مثلث يحتوي على زاويةٍ واحدةٍ قياس 90 درجة). ويطلق على ضلعي المثلث القائم اللذين يشكلان الزاوية القائمة اسم الساقين، أما الضلع الثالث (المقابل للزاوية القائمة) فيسمى الوتر hypotenuse.
وتوجد ثلاث نسب مثلثية أساسية هي جيب الزاوية sine وجيب تمام الزاوية cosine وظل الزاوية tangent. ويمكن إيجاد أي منهم لأي من زوايتي المثلث غير القائمتين.
- جيب الزاوية sin: هو نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الوتر.
- جيب التمام cos: هو نسبة طول الضلع المجاور للزاوية إلى طول الوتر.
- ظل الزاوية tan: فهو نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى الضلع المجاور للزاوية.
مثال: لدينا المثلث A:
سنرمز لطول الضلع المقابل بـ a، وطول الضلع المجاور بـ b، وطول الوتر بـ c. فيكون:
- جيب الزاوية هو نسبة المقابل إلى الوتر أي sin A=a/c
- ويكون جيب التمام هو نسبة المقابل على الوتر أي: cos A=b/c
- ويكون ظل الزاوية هو المقابل على المجاور أي: tan A=a/b
نسب مثلثية أخرى
من النسب المثلثية الأخرى شائعة
الاستخدام:
- القاطع secant: وهو نسبة الوتر إلى الضلع المجاور للزاوية ورمزه sec.
- قاطع تمام الزاوية cosecant: نسبة طول الوتر إلى طول الضلع المقابل للزاوية. ورمزه csc.
- ظل التمام cotangent: نسبة طول الضلع المجاور للزاوية إلى طول الضلع المقابل للزاوية ورمزه cot.
- القاطع هو نسبة الوتر على المجاور أي sec A=c/b
- ويكون قاطع التمام الذي يأتي من نسبة الوتر على المقابل هو csc A=c/a
- ويكون ظل التمام أي نسبة المجاور على المقابل هو cot A=b/a
صيغ النسب المثلثية الست
إذا كان لدينا مثلث قائم، ببساطة نستطيع أن نحدد النسب الست لكل الزوايا المثلثية (ما عدا الزاوية القائمة).
إذا أردنا
إيجاد النسب الست للزاوية A:
لنلاحظ أنه
بإمكاننا إيجاب قاطع الزاوية وقاطع جيب التمام وظل
التمام بكل سهولة بقلب النسب المرتبطة بها أو يمكن استخدام الصيغ.
لإيجاد النسب الست للزاوية B، فقط نعيد التفكير بالنظر إلى الزاوية B كبديل عن الزاوية A. ما يعني أن الأضلاع المجاورة والمقابلة ستتبدل بينما يبقى الوتر نفسه.
عند البدء
بحساب النسب الست للمثلث B
ما علينا سوى النظر إلى الزاوية B بدلًا من الزاوية A، ما يعني أيضًا
تبديل الضعلين المقابل والمجاور بينما يبقى الوتر على حاله.
وظيفة النسب المثلثية
فور سماع
بعض الأشخاص بالوظيفة المثلثية يشعرون مباشرة بالقلق والتوتر بشكل شديد أو معتدل،
وينبع هذا التوتر أساسًا من قلة الفهم.
المثلثات القائمة المتشابهة
وظيفة النسب المثلثية أساسًا هي المقارنة بين المثلثات القائمة المتشابهة، والمثلثات المتشابهة تعني أن الزوايا المثلثية للمثلثين متطابقة (نفس القياس)، وأن أطوال ضلعاها الجانبيان متناسبة. لنفترض أن لدينا المثلثان المتشابهان CAT و DOG فحقيقة أن المثلثان متناسبان يعني أنه يمكن وضع تناسب (نسب متساوية equal ratios أو كسور fractions) للأجزاء المتماثلة. مثال:
الضلع AT من المثلث الأول CAT يقابل الضلع OG من المثلث الثاني المشابه DOG، ويكون الضلع CT مقابل للضلع DG. وفيما يلي التناسب الذي يعتبر هامًا لفهم وظائف النسب المثلثية .
AT/CT = DO/DG
6/10=3/5
هذه الكسور
متساوية. وسيحدث ذلك دائمًا في المثلثات المتشابهة.
النقطة الأساسية، أنه يمكن اختيار أي ضلعين من مثلث ما، وإجراء نسبة (كسر) بغض النظر عن أطوال الضلعين، لمقارنتها مع النسب المثلثية المقابلة من مثلثات أخرى لاختبار التشابه.
وفيما يلي تناسبان آخران يمكن إجراؤهما. وثانية عندما نقدّر النسب ستكون متساوية:
AT/AC= OG/OD
CT/CA = DG/DO
6/8=3/4
10/8=5/4
ما فائدة المثلثات المتشابهة؟
إذا علمنا أن المثلثات متشابهة فهذا يعني القدرة على اكتشاف أطوال الضلع المجهولة إذا علمنا طول ضلع واحد فقط من الأضلاع الثلاثة.
مثلًا: إذا كان لدينا المثلث MUT والمثلث DOG، ولأن المثلثان متشابهان فإن الضلع UT من المثلث MUT مقايل للضلع OG من المثلث DOG، والضلع MT مطابق للضلع DG والضلع MU مطابق للضلع DO. وبهذا يمكننا إجراء 3 تناسبات مختلفة للأجزاء المتقابلة.
UT/MT=OG/DG
UT/MU= OG/DO
MU/MT = DO/DG
m/u= 3/5
m/9 = 3/4
u/9=5/4
يتم حساب النسب المثلثية كالتالي :
1-sin : جيب الزاوية A = طول الضلع المقابل / الوتر(h/a)
2-cos : جيب تمام الزاوية A = طول الضلع المجاور / الوتر (h/b)
3-tan : ظل الزاوية A = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور (b/a).
النسب المثلثية للزوايا الحادة :
1- لكل زاوية حادة معلومة في المثلث قائم الزاوية .
2- تكون النسبة بين طول ضلع القائمة المقابل لهذه الزاوية وطول الوتر نسبة ثابتة لا تتغير صَغُـرَ المثلث أو كَبُـر .
سميت هذه النسب باسم النسب المثلثية لأنها تقارن بين أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية بالتحديد، ولكن هذه النسب ترتبط أيضا بزوايا المثلث ولهذا أعطاها علماء الرياضيات أسماءً مربوطة بزوايا المثلث .
تُستخدم النسبب المثلثية في :
1-وصف موجات الصوت ، والضوء.
2-يتم استخدام علم المثلثات في علم المحيطات ، لحساب ارتفاعات الأمواج ، والمد في المحيطات.
3-يتم استخدامه في إنشاء الخرائط.
4-يتم استخدامه في أنظمة الأقمار الصناعية.
يتم حساب الزوايا عن طريق الخطوات التالية :
1- تحتاج إلى تحديد عدد جوانب المضلع أولًا قبل أن تتمكن من حساب زواياه الداخلية.
2-قسم مجموع الزوايا في مضلع منتظم على عددها.
3-طرح مجموع الزوايا المعروفة من مجموع الزوايا الكلي في المضلع غير المنتظم.
يتم حساب قياس الزاوية عن طريق :
1-نستطيع حساب قياس الزاوية هندسيا باستخدام المنقله .
2-أما حسابيا فنستطيع حساب قياس الزاوية بطرق عدة ,فمثلا في المثلث القائم الزاوية نجد قياس الزاوية المجهولة عن طريق أحد الدوال المثلثية مثل sin ، cos وذلك حسب معطيات السؤال ,أو ممكن في مثلثات أخرى عن طريق معرفة أن مجموع قياسات زوايا المثلث تساوي 180° حيث يتم طرح الزوايا المعطاه من 180° فينتج لنا الزاوية المجهولة.
الضلع المُقابل هو الضلع الذي يُقابل الزاوية 𝜃 .
الضلع المجاور هو الضلع الذي يقع بجوار الزاوية 𝜃 ، وليس الوتر.