مساحة المثلث القائم (مع أمثلة مشروحة)

قد يكون موضوع حساب مساحة المثلث القائم من الأمور التي تشكّل تحديًّا غريبًا أو جديدًا لأي طالب علمٍ في مراحله الأولى في دراسة الرياضيات، وقد لا يحسن تمييز الفرق والتشابه بين حالات المثّلث عمومًا، لذا إليك بعض الشرح والأمثلة.

يتكون المثلث - أي مثلثٍ - من ثلاثة أضلاعٍ تتصل ببعضها عند ثلاث نقاطٍ تعرف برؤوس المثلث. يحصر كل ضلعين من أضلاع المثلث زاوية بينهما، بحيث يحتوي المثلث الواحد على ثلاث زوايا، واحدة عند كل رأسٍ من رؤوسه. مجموع قياسات زوايا المثلث، والتي تسمى بالزوايا الداخلة له، يساوي دائمًا 180 درجةً، فلا يمكن جمع ثلاثة أضلاعٍ لتشكيل مثلثٍ بحيث يكون مجموع الزوايا المحصورة بينهم أقل أو أكبر من 180 درجةً.

في الصورة هنا تلاحظ وجود ست زوايا مشار إليها بالأرقام من 1 إلى 6، الزوايا من 1 إلى 3 هي الزوايا الداخلة للمثلث، أما الزوايا 4 و5 و6 فتسمى بالزوايا الخارجة عن المثلث. مجموع قياسي زاوية داخلة للمثلث والزاوية الخارجة عنه المجاورة لها هو 180 درجةً، إذ يشكلان معًا زاويةً مستقيمةً (الزاوية المستقيمة هي زاوية قياسها 180 درجة). في الشكل يكون مجموع قياسي الزاويتين 1 و4 180 درجةً، ونفس الأمر بالنسبة للزاويتين 2 و5، وللزاويتين 3 و6.

اثنتان على الأقل من الزوايا الثلاث الداخلة للمثلث لا بد أن تكونا زاويتين حادتين، والزاوية الحادة هي زاوية قياسها أكبر من صفر درجة وأقل من 90 درجة. الزاوية الثالثة قد تكون حادةً هي الأخرى، أو قائمةً أي قياسها يساوي 90 درجة، أو منفرجةً أي يفوق قياسها 90 درجة ويقل عن 180 درجة.

تتناسب أطوال أضلاع المثلث مع قياسات الزوايا المقابلة لها، فالضلع الأقصر يقابل الزاوية الأصغر في القياس، والعكس أي أن الضلع الأطول يواجه أو يقابل الزاوية الأكبر في القياس. من بين خصائص المثلث أن مجموع طولي أي ضلعين فيه دائمًا ما يكون أكبر من طول الضلع الثالث. .

ذكرت في المقدمة أن الزوايا الداخلة جميعها قد تكون زوايا حادة، أو قد تكون إحداها زاوية قائمة أو منفرجة، وعلى هذا تُقسم المثلثات حسب نوع الزوايا الداخلة لها إلى ثلاثة أنواعٍ هي:

أي شكلٍ هندسيٍّ له محيط ومساحة، المحيط هو مجموع أطوال حدود الشكل أيًا ما يكون سواء مثلث أو مربع أو حتى دائرة، فيكون محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاع المثلث، أما المساحة فهي المنطقة داخل حدود الشكل. يتم حساب مساحة المثلث القائم وغير القائم على حدّ سواء وفق القانون التالي:.

مساحة المثلث = نصف طول القاعدة × طول الارتفاع

الخط المستقيم المرموز له بالحرف (H) هو ما نسميه الارتفاع، ويعرف بأنه القطعة المستقيمة المرسومة عموديًّا من إحدى رؤوس المثلث إلى الضلع المقابل لهذه الرأس. القاعدة قد تكون أي ضلعٍ من الأضلاع بشرط أن يكون الارتفاع المستخدم لحساب المساحة يعبر عن المسافة العمودية بين هذا الضلع بالتحديد ورأس المثلث المقابلة له..

سبق أن أوضحنا مفهوم المثلث قائم الزاوية عند الحديث عن أنواع المثلثات، فقلنا إن المثلث قائم الزاوية يحتوي على زاوية واحدة قائمة وزاويتين حادتين. الضلعان اللذان يحصران بينهما الزاوية القائمة يعرفان بضلعي القائمة، أما الضلع المقابل للزاوية القائمة فيعرف بالوتر.

وضع الرياضي والفيلسوف اليوناني فيثاغورث (570-500 ق.م) نظريته صاحبة الشهرة الأكبر بين النظريات الهندسية لإيضاح العلاقة بين أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية (نظرية فيثاغورس). برسم ثلاثة مربعاتٍ، واحد على كل ضلعٍ من أضلاع المثلث قائم الزاوية، بحيث يكون طول ضلع المربع هو ذاته طول ضلع المثلث المرسوم عليه، ولتكن هذه المربعات هي a، b، c كما بالشكل، حيث c مرسوم على الوتر، و a، b مرسومان على ضلعي القائمة، فإن مساحة المربع c تساوي مجموع مساحتي المربعين الآخرين، وطالما مساحة المربع هي مربع طول ضلعه (طول ضلع المربع مضروبًا في نفسه)، فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة، وهذه هي النظرية.

لإيجاد مساحة المثلث قائم الزاوية نتبع ذات القانون المذكور من قبل، وهو أن مساحة المثلث تساوي نصف القاعدة في الارتفاع. سبق وأن عرفنا الارتفاع بكونه المسافة العمودية أو طول القطعة المستقيمة العمودية من رأس المثلث على الضلع المقابل للرأس، في المثلثين حاد الزاوية ومنفرج الزاوية نسقط قطعةً مستقيمةً عموديةً من إحدى الرؤوس على الضلع المقابل ليعبر قياسها عن الارتفاع، أما في المثلث القائم فلسنا في حاجةٍ لذلك، حيث أن الارتفاع موجود مسبقًا على الرسم.

لو اتخذنا أحد ضلعي القائمة قاعدة للمثلث - أن القاعدة قد تكون أي ضلعٍ - يكون الضلع الآخر هو الارتفاع، حيث يتحقق فيه الشرطان اللازمان، فهو عموديٌّ على الضلع الآخر أي القاعدة، حيث يصنعان معًا زاويةً قائمةً، وهو مرسومٌ عموديًّا على القاعدة من الرأس المقابلة لها. نعبر عن قانون حساب مساحة المثلث قائم الزاوية بصيغة معدلة من القانون كالتالي:

مساحة المثلث قائم الزاوية = حاصل ضرب ضلعي القائمة مقسومًا على 2

لتتضح الفكرة انظر الشكل الآتي:

ليكن الضلع (b) هو قاعدة المثلث، والرأس المقابلة له هي الرأس (B)، نجد أن الضلع (a) عمودي على القاعدة (b) عند (C) حيث زاوية (C) زاوية قائمة، وهو مرسوم من نقطة (B). مساحة هذا المثلث تساوي a×b/2..

هاك أمثلة على كيفية إيجاد مساحة المثلث القائم بالتفصيل:

في هذه المسألة لا بد من إيجاد طول الضلع A أولًا وذلك باستخدام نظرية فيثاغورث كالتالي:

بعد إيجاد طول وهو 3 سم مربع، نحسب المساحة: