قوانين المساحة في الرياضيات (للأشكال المستوية والفراغية)

المساحة ببساطةٍ هي عبارةٌ عن مقدارٍ معينٍ، يقصد به التعبير عن مدى اتساع الأشكال ثنائية الأبعاد أو ثلاثية الأبعاد، أي أنّ مساحة المعين أو المثلث أو غيرها ما هي إلا مقدار المنطقة التي يشغلها من الفراغ، ويمكن التعبير عن مساحة الأشكال عن طريق قوانين المساحة في الرياضيات والتي تختلف بحسب كل شكلٍ.

وبالحديث عن المساحة، من المهم معرفة ما هو المضلع، فالمضلع هو عبارةٌ عن مجموعة خطوطٍ مستقيمةٍ ترتبط مع بعضها البعض مكونةً أشكالًا مغلقةً تدعى المضلعات، وتتمايز المضلعات حسب عدد الخطوط المستقيمة التي تشكلها، فالمضلعات التي تتكون من أوجهٍ ذات ثلاثة خطوطٍ مستقيمةٍ مشكلةً مثلثات، تسمى المضلعات الثلاثية، في حين أنّ تلك التي يتكون كل وجهٍ منها من أربعة خطوطٍ مستقيمةٍ تسمى المضلعات الرباعية، وكذلك الأمر بالنسبة للأشكال الخماسية والسداسية وغيرها، وبذلك فإنّ مساحة كل شكلٍ منها هي عبارةٌ عن المنطقة المحددة داخل هذه الخطوط.

وهي عبارةٌ عن أشكالٍ مستويةٍ، سميت بهذا الاسم لأنها تمتلك بعدين فقط هما الطول والعرض، وبالتالي من الممكن رسمها على قطعةٍ ورقيةٍ إذ أنّ ليس لها سماكة، أمّا بالنسبة للمقاييس الخاصة بالأشكال ثنائية الأبعاد فهي المحيط والمساحة، ومن الأمثلة عليها المربع والمعين ومتوازي الأضلاع وغيرها.

ويطلق عليها أيضًا بالأشكال الفراغية أو الأشكال المجسمة، وتتميز بمقياسين هما الحجم ومساحة السطح الخارجي، وتختلف الأشكال ثلاثية الأبعاد عن ثنائية الأبعاد من حيث عدد أبعادها إذ أنّ لها ثلاثة أبعادٍ هي الطول والعرض والسماكة، وهناك رابطٌ يجمع بين الأشكال ثنائية وثلاثية الأبعاد، إذ يمكن الحصول على شكلٍ ثلاثي البعد عبر دوران شكل ما ثنائي البعد حسب هيكله، كما أنّ المساحة السطحية له يتم الوصول عليها عبر جمع مساحات الأوجهه ثنائية الأبعاد.

تستخدم واحدة "المتر المربع" أو مضاعفاته وأجزائه، كواحدةٍ قياسيةٍ للمساحة وتكتب هذه الواحدة بالشكل "m²"، ويعرّف النظام الدولي للواحدات SI واحدة المتر المربع على أنّها عبارة عن مساحة مربعٍ طول ضلعه 1 m²..

ويعبر عن الجسم الكروي بأنه دائرة ثلاثية الأبعاد، حيث يتطلب حساب مساحة الجسم الكروي معرفة نصف قطره r والذي هو قيمةٌ ثابتةٌ تمثل المسافة الواصلة بين مركز الكرة وأي نقطةٍ من حافتها، وبذلك تعطى المساحة السطحية للجسم الكروي بالعلاقة A= 4*π*r² حيث تبلغ قيمة π التقريبية 3.14.

للمخروط قاعدة وسطح جانبي وبالتالي فإنّ مساحته الكلية هي مجموع مساحة قاعدته مضافًا إليها مساحة سطحه الجانبي أي A= π*r² + π*r*s حيث أنّ s هي طول الضلع الجانبي للمخروط.

يتطلب حساب المساحة الكلية للأسطوانة معرفة نصف قطر قاعدتها r وارتفاعها h، لتكون مساحتها الكلية A= 2*π*r² + 2* π*r*h.

وتعطى المساحة الكلية له بالعلاقة A= 2*A₁ + B*l، حيث A₁ هي مساحة القاعدة و B هي محيط القاعدة و l هي عمق الموشور.

حيث تساوي هذه المساحة مجموع مساحة أوجه متوازي المستطيلات الستة، ففي حال كانت أبعاده هي L وW وD، ستكون مساحته الكلية (A= 2*(l*w) + 2*(l*h) + 2*(w*h.

وهو حالة خاصة من متوازي المستطيلات، حيث أنّ جميع أبعاده متساوية الطول، وفي حال رمزنا لضلعٍ منها بالرمز a ستكون مساحة المكعب هي A= 6*a².

فباعتبار أنّ ارتفاع أحد الأوجه الجانبية للهرم (والتي هي عبارةٌ عن مثلثات) هو s، وارتفاع الهرم هو h ستكون المساحة الكلية له هي مجموع المساحة الجانبية ومساحة القاعدة أي (A=(0.5*B*s) + (A₁ وذلك للأهرامات ذات المثلثات الجانبية المتطابقة، حيث B هي محيط القاعدة و A₁ هو مساحة القاعدة..

إذا فرضنا أنّ L هو طول المستطيل و W هو عرضه ستكون مساحة المستطيل هي A= L*W.

بفرض أنّ طول قاعدة متوازي الأضلاع هي b وارتفاعه هو h ستكون مساحته هي A= b*h.

بفرض أنّ a و b هما طولا الضلعين المتوازيين في شبه المنحرف، و h هو الارتفاع العمودي له، ستكون مساحة شبه المنحرف هي A= 0.5 * (a+b) *h..

بفرض أنّ s هو طول ضلع المربع ستكون مساحته هي A= s².

بفرض أنّ r هي نصف قطر الدائرة ستكون مساحتها هي A= π*r².

إذا كانت b هي طول قاعدة المثلث وh هي طول ارتفاعه، ستكون مساحة المثلث هي A = 0.5*b*h..