ما هي الأعداد المركبة؟

تستخدم الأعداد المركبة (الأعداد العقدية) في كثير من المجالات ولا سيما تلك المرتبطة بتوضيح وتمثيل الحركات الدورية، فما هي الأعداد المركبة؟

الأعداد المركبة مؤلفة من أرقام حقيقية وأرقام وهمية، والأرقام الحقيقية هي التي تجرى عليها العمليات الحسابية، أما الأرقام الوهمية تبقى كما هي، بالنسبة للأرقام الحقيقية ممكن أن تكون عدد صحيح، أو رقم سالب أو موجب أو صفر، أو رقم معقول أو غير معقول، أو حتى كسر، أما بالنسبة للأرقام غير الحقيقية فهي نتيجة لتربيع رقم وهمي يعطي نتيجة سلبية، وتكون صيغة الأعداد المركبة a+ib، بحيث يكون a وb أعداد حقيقية، ويعبر عن i بالرقم الوهمي، تستخدم الأعداد المركبة في مجالات مختلفة منها التيار المتناوب والأمواج الضوئية، والأمواج المائية، وجيب وتجيب الزاوية.

تعدّ الاعداد المركبة أو العقدية “Complex numbers”  امتدادًا للأعداد الحقيقية، وهي الأعداد التي تحوي على جميع جذور المعادلات التربيعية.

في مجموعة الأعداد الحقيقية إذا وصلنا إلى معادلة من الشكل :

x² = -a

حيث a عدد حقيقي موجب. فإن المعادلة تكون مستحيلة الحل.

لذلك طور علماء الرياضيات طريقة لحل المعادلات من هذا النوع بالإضافة إلى معادلات أخرى أكثر تعقيدًا بالاعتماد على نظام الاعداد المركبة.

فإذا عرفنا العدد i على أنه حل المعادلة:

x² = -1

عندئذ يظهر لدينا التمثيل القياسي لمجموعة الأعداد المركبة والتي نرمز لها بالرمز C،  ويعرف العدد المركب بالشكل:

وبما أن العديد من طلابنا الأعزاء يعانون من الصعوبة في فهم هذا التعريف بسبب التناقض المنطقي الذي يقعون فيه، حيث يتساءل الطالب دومًا كيف يمكن لمربع عدد ما أن يكون عددًا سالبًا، يمكن توضيح تعريف العدد المركب بشكل أبسط فنقول:

الاعداد المركبة هي أزواج مرتبة من الثنائيات (a,b)  حيث a  وb أعداد حقيقية ويتم تعريف عملية الضرب على الشكل الآتي:

وناتج ضرب أي ثنائيتين يكون فيهما القسم الثاني صفر، تكون العملية:

وهكذا فإن الأزواج المرتبة التي تحتوي على الصفر في قسمها الثاني تتصرف كالأعداد الحقيقية تمامًا، والآن لنضرب الثنائية (0,1) بنفسها:

أي أن مربع العدد (0,1) هو العدد (0,-1) وهو يكافئ العدد الحقيقي -1، وبالتالي فإن الجذر التربيعي للعدد -1 ليس وهميًا ولكنه ببساطة  (0,1).

جمع الأعداد المركبة: وتتم بجمع الأجزاء الحقيقية مع بعضها، وجمع الأجزاء الوهمية مع بعضها.

a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i)

طرح الأعداد العقدية: تتم بضرب العامل السالب مع العدد المركب التالي، ومن ثم طرح الأعداد الحقيقية من بعضها، والأعداد الوهمية من بعضها.

a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i)

ضرب الأعداد العقدية: وتتم من خلال فك الأقواس وضرب كل جزء من العدد العقدي الأول مع الجزأين من العدد العقدي الثاني.

قسمة الأعداد العقدية: ليس من الممكن التقسيم على عدد وهمي لذلك نحاول التخلص من المقام الوهمي، وذلك بضرب البسط والمقام بنفس قيمة المقام، مع الأخذ بعين الاعتبار أن iللتربيع =-1، ومن ثم نبسط البسط والمقام للوصول للنتيجة النهائية.

تتألف الأعداد المركبة أو ما يسمى بالأعداد العقدية من جزئين هما: الجزء الحقيقي، والجزء التخيلي، حيث تملك هذه الأعداد الصيغة الرياضية a+ib، على اعتبار أن a هو القسم الحقيقي و ib هو القسم التخيلي، حيث أن i  هو رقم وهمي يُسمى Iota، ويساوي الجذر التربيعي للعدد -1.

من المعروف أن الأعداد السالبة الحقيقية لا جذر لها إلا، ولكن لنفرض جدلاً أن العدد السالب يأخذ القيمة X*-1 وأن جذر العدد 1- هو الرقمي التخيلي i: يصبح لدينا جذر أي رقم سالب يساوي جذره مضروباً بالرقم i، وهذه هي فكرة الأعداد العقدية: فهي تفترض أن كل عدد مكون من جزئين حقيقي وتخيلي ويمثل مجموعهما العدد الأساسي (تأخذ الصيغة X+iY).