حجم هرم قاعدته مربع (مع أمثلة مشروحة)

مطلوب حسام حجم هرم قاعدته مربع، ارتفاعه 9 سم، وطول ضلع قاعدته 4 سم.

حجم الهرم = ⅓ مساحة القاعدة * ارتفاع الهرم
مساحة قاعدة الهرم = (طول الضلع)²
مساحة قاعدة الهرم = 4 * 4= 16 سم².
ويكون حجم هرم قاعدته مربع = ⅓ * 16 * 9= 48 سم³.

هرمٌ قاعدته مربع طول ضلعه 10 سم، وارتفاعه 18 سم، والمطلوب حساب حجم هذا الهرم.

حجم الهرم = ⅓ مساحة القاعدة * ارتفاع الهرم
حجم الهرم = ⅓ (10)² * 18
حجم الهرم = ⅓ * 100 * 18= 600 سم³.

هرمٌ قائمٌ قاعدته مربع، طول ضلعها 24 سم، وارتفاعه 16 سم، والمطلوب، حساب المساحة الجانبية لأوجه الهرم، ومساحته الكلية، وحجمه.

مساحة الأوجه الجانبية للهرم= ½ * محيط القاعدة * الارتفاع الجانبي.
يوضح الشكل المربع WXYZ والذي يشكل قاعدة الهرم، والنقطة O هي نقطة تلاقي قطريه WY و XZ، أما PO فهو العمود النازل من قمة الهرم إلى منتصف قاعدته، أي أن OP هو ارتفاع الهرم.
يُرسم عمود OE من النقطة O باتجاه الضلع WX، ليكون بذلك OE=EX= 1/2*WX= 12.
نستنتج مما سبق بأن PE هو الإرتفاع الجانبي للهرم، ولحساب طوله نقوم بتطبيق نظرية فيثاغورث في المثلث POE والقائم في O:
PO² + OE² = PE²
PE²= 16² + 12²
PE²= 256 + 144
PE²= 400
سم PE= √400= 20
بالتعويض في المعادلة نجد ما يلي:
مساحة الأوجه الجانبية للهرم = ½ * (24 * 4) * 20
مساحة الأوجه الجانبية للهرم = 960 سم².
المساحة الكلية لسطح الهرم = مساحة القاعدة + مساحة الأوجه الجانبية للهرم
المساحة الكلية لسطح الهرم = 24² + 960
المساحة الكلية لسطح الهرم = 1536 سم².
حجم الهرم = ⅓ مساحة القاعدة * ارتفاع الهرم
حجم الهرم = ⅓ * 24² * 16
حجم الهرم = 3072 سم³.

المطلوب حساب حجم هرمٍ قائمٍ قاعدته مربع وجميع وجوهه الجانبية مثلثات متساوية الأضلاع، وطول كل حافةٍ فيه 16 سم، واحسب مساحة هذا الهرم.

المربع WXYZ هو قاعدة الهرم، وO هي نقطة تلاقي القطرين WY وXZ، وOP هو العمود النازل من قمة الهرم على قاعدته، فيكون هو ارتفاع الهرم.
كون الأوجه الجانبية للهرم مثلثات متساوية الأضلاع يعني أن: PW = WX = XY = YZ = ZW=16. بتطبيق نظرية فيثاغورث في المثلث WXY القائم في X نجد ما يلي:
WY² = WX² + XY²
WY² = 16² + 16²
WY² = 256 + 256
WY² = 512
WY = √512 = 16√2
WO=½ * 16√2= 8√2.
بتطبيق نظرية فيثاغورث في المثلث POW القائم في O ستظهر المعادلة التالية:
OP² + OW²= PW²
OP²= PW² - OW²
OP²= 16² - (8√2)²= (8√2)²
OP = 8√2.
برسم المستقيم OE العمود على WX، نلاحظ أن طوله يساوي نصف طول ضلع القاعدة، أي يساوي 8.
مما سبق نستنتج أن PE هو الارتفاع الجانبي للهرم، ولحسابه، نستخدم نظرية فيثاغورث في المثلث POE القائم في O:
PE²= PO² + OE².
PE²= (8√2)² + 8².
PE²= 128+ 64.
PE²= 192.
PE= 8√3.
المساحة الكلية للهرم = مساحة الأوجه الجانبية + مساحة القاعدة.
المساحة الكلية للهرم = ½ * محيط القاعدة * الارتفاع الجانبي + (طول الضلع)²، وبالتعويض نجد:
المساحة الكلية للهرم = 256(1 + 3√) سم².
حجم الهرم = ⅓ * مساحة القاعدة * ارتفاع الهرم
حجم الهرم = ⅓ * 16² * 2√8
حجم الهرم = ⅓ * 2√2048 سم³.