مساحة متوازي المستطيلات (مع أمثلة مشروحة)
مساحة متوازي المستطيلات
مساحة متوازي المستطيلات.. قبل الحديث عن مساحة متوازي المستطيلات (سواءً الكلية أو الجانبيّة) لا بدّ من التعريف بهذا المجسّم الهندسي المميّز والشائع جدًّا في حياتنا اليوميّة والدراسيّة في الرياضيات والفيزياء بالخصوص.
يمكن تعريف متوازي المستطيلات على أنه شكلٌ هندسيٌّ ثلاثي الأبعاد، جميع زواياه قائمة، ويتألف من ستة مستطيلاتٍ، كل مستطيلين متقابلين منها، متوازيان ومتطابقان فيما بينهما. يمكن أن نطلق مصطلح قاعدة على أيٍّ من أوجه متوازي المستطيلات الستة، عندئذٍ يطلق على الأوجه الأربعة التي تتشارك مع القاعدة بحوافٍ مشتركةٍ مصطلح الأوجه الجانبية لمتوازي المستطيلات.
مساحة متوازي المستطيلات: خصائص متوازي المستطيلات
- كافة الزوايا في أي متوازي مستطيلاتٍ قائمة.
- لمتوازي المستطيلات ستة أوجهٍ، كلٌ منها عبارةٌ عن مستطيلٍ.
- لمتوازي المستطيلات ثلاثة أبعاد، العرض (Width) ويرمز له كذلك w، الطول (Length) ويرمز له l، والارتفاع (Depth أو Height) ويرمز له h.
- لمتوازي المستطيلات اثنا عشر حرفًا، والحرف هو الخط الفاصل بين وجهين متجاورين.
- لمتوازي المستطيلات كذلك ثماني رؤوس، والرأس هي نقطة تلاقي ثلاث حوافٍ في متوازي المستطيلات.
مساحة متوازي المستطيلات
مساحة متوازي المستطيلات الكلية = مجموع مساحات أوجهه الستة.
من تعريف متوازي المستطيلات استنتجنا أن كل وجهين متقابلين متوازيان ومتطابقان، أي يكفي معرفة مساحة ثلاثة أوجهٍ مختلفةٍ من الأوجه الستة، ثم مضاعفة مساحة كل من تلك الأوجه لإيجاد المساحة الكلية. إنّ كل وجه للشكل الهندسي عبارةٌ عن مستطيلٍ، فبالتالي مساحة كل وجهٍ تساوي حاصل جداء ضلعي زاويةٍ قائمةٍ فيه، وبتعويض كل ما سبق سنحصل على المعادلة التالية:
مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2(العرض×الارتفاع) + 2(العرض×الطول) + 2(الطول×الارتفاع)
قوانين أُخرى مفيدة
- المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = 2×الارتفاع(العرض + الطول).
- حجم متوازي المستطيلات = الطول×العرض×الارتفاع.
- قطر متوازي المستطيلات هو الخط المستقيم الواصل بين رأسين في متوازي المستطيلات لا يشتركان بأي حرفٍ، ويساوي الجذر التربيعي لمجوع مربع الطول ومربع العرض ومربع الارتفاع.
بعض الأمثلة في حساب مساحة متوازي المستطيلات
مساحة متوازي المستطيلات = مجموع مساحة أوجهه الستة.
= 2(العرض×الطول) + 2(الطول×الارتفاع) + 2(العرض×الارتفاع).
= 2(8×6) + 2(8×5) + 2(6×5)
= 2(48+40+30) = 236 سم2.
مساحة السطح الأول = الطول×العرض= 4.8×7.2 = 34.56 سم2.
مساحة السطح الثاني= العرض×الارتفاع = 4.8×3.4 = 16.32 سم2.
مساحة السطح الثالث = الطول×الارتفاع = 7.2×3.4 = 24.48 سم2.
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = 2( مساحة السطح الأول + مساحة السطح الثاني + مساحة السطح الثالث)
= 2(34.56 + 16.32 + 24.48) = 75.36 = 150.72 سم2.
المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = 2(الطول×الارتفاع + العرض×الارتفاع) = 2×الارتفاع(الطول + العرض)
= 2×7(10+8) = 252 سم2.
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + 2×مساحة قاعدته
= 252 + 2(10×8)
= 412 سم2.
مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2(العرض×الارتفاع) + 2(العرض×الطول) + 2(الطول×الارتفاع)
= 2(31×12) + 2(31×40) + 2(40×12)
= 2×372 + 2×1240 + 2×480 = 4184 سم2.
مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2(العرض×الارتفاع) + 2(العرض×الطول) + 2(الطول×الارتفاع)
= 2 (4×3) + 2 (4×5) + 2 (5×3)
= 24+40+30=94 سم2.
حجم متوازي المستطيلات = الطول×العرض×الارتفاع.
= 5×4×3= 60 سم3.
طول قطر متوازي المستطيلات = الجذر التربيعي ل( مربع الطول + مربع العرض + مربع الارتفاع).
= (5^2 + 4^2 + 3^2)√ .
= 50√ = 5√2.
من القوانين السابقة نجد أنّ حجم متوازي المستطيلات = الطول×العرض×الارتفاع.
بالتعويض فيما لدينا: 192= 8×6×الارتفاع.
الارتفاع = 192÷8×6 = 192÷48= 4 سم.
مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2(العرض×الارتفاع) + 2(العرض×الطول) + 2(الطول×الارتفاع)
= 2(6×4) + 2(8×6) + 2(8×4).
= 2(24+48+32) = 208 سم2.
مساحة متوازي المستطيلات الجانبية = 2×الارتفاع(العرض + الطول).
= 2×4(6+8) =112 سم2.
حالة خاصة لمتوازي المستطيلات... المكعب
المكعب هو متوازي مستطيلات، أبعاده الثلاث (الطول، والعرض، والارتفاع) متساوية، للمكعب صفاتٌ وخصائصُ تتطابق مع متوازي المستطيلات، من حيث الزوايا القائمة فيه، وعدد الأحرف المكونة له، وعدد الرؤوس، إلا أن بعض القوانين ستتغير نسبيًّا بسبب تطابق الأبعاد الثلاث، وتصبح التالي:.
- المساحة الكلية للمكعب = 6×مساحة أحد جوانبه؛ حيث مساحة أحد جوانبه = طول الضلع2.
- المساحة الجانبية للمكعب = 4×مساحة أحد جوانبه.
- حجم المكعب = طول الضلع3.
الأسئلة الشائعة عن مساحة متوازي المستطيلات
متوازي المستطيلات هو شكلٌ هندسيٌّ ثلاثي الأبعاد، جميع زواياه قائمة، ويتألف من ستة مستطيلاتٍ، كل مستطيلين متقابلين منها، متوازيان ومتطابقان فيما بينهما. ولحساب مساحة متوازي المستطيلات نتبع القانون التالي:
مساحة متوازي المستطيلات الكلية = مجموع مساحات أوجهه الستة.
أي:
مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2(العرض×الارتفاع) + 2(العرض×الطول) + 2(الطول×الارتفاع)
مثال:
حساب مساحة متوازي مستطيلات أطوال أضلاعه 8 سم، و6سم، و5سم.
مساحة متوازي المستطيلات = مجموع مساحة أوجهه الستة.
= 2(العرض×الطول) + 2(الطول×الارتفاع) + 2(العرض×الارتفاع).
= 2(8×6) + 2(8×5) + 2(6×5)
= 2(48+40+30) = 236 سم2.
متوازي المستطيلات هو شكلٌ هندسيٌّ ثلاثي الأبعاد، جميع زواياه قائمة، ويتألف من ستة مستطيلاتٍ، كل مستطيلين متقابلين منها، متوازيان ومتطابقان فيما بينهما. ولحساب حجم متوازي المستطيلات، نقيس الخط الخارجي لتتابع مجموع الأضلاع الكاملة لهُ.
المكعب شكل ثلاثي الأبعاد تتساوى جميع جوانبه وأوجههُ تكون مربعة الشكل. أما شكل متوازي المستطيلات هو أيضًا شكل ثلاثي الأبعاد له ثلاثة أزواج من الأضلاع المتساوية موازية لبعضها البعض وأوجه متوازي المستطيلات كلها في شكل مستطيل.