نظرية طالس
تعود نظرية طالس للمهندس وعالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني طالس Thales الذي يُعتبر من أوائل الباحثين في الرياضيات ومطوريها؛ كونه لجأ إلى التفكير الاستنتاجي في أبحاثه، وأراد فهم العالم ليس من خلال الأساطير بل من خلال العقل البشري، وهو أحد حكماء اليونان السبعة الذين وصفهم أرسطو بأوائل الفلاسفة في اليونان، بينما اعتبر الفيلسوف برتراند راسل في القرن العشرين أن كل الفلسفة الغربية بدأت منه.
أراد طالس إثبات الحقائق المكتشفة من قبل البابليين والمصريين وغيرهم من الباحثين الأوائل، باستخدام التفكير الاستنتاجي؛ فبدأ أبحاثه باستخدام مجموعةٍ من الأساسيات والاستنتاجات، ليتوصل إلى مجموعةٍ من الحقائق والنظريات التي نُسبت إليه. ما هي هذه النظريات وعلى ما تنص؟ هذا ما سنتعرف عليه فيما يلي.
نظريات طالس في الهندسة
يُنسب إلى طالس العديد من النظريات في الهندسة وهي:
- يأكد المؤرخون على أن طالس هو أول من أثبت أن الدائرة تنقسم إلى نصفين بقطرها، والسبب في ذلك أن القطر يمر عبر المركز دون أي عائقٍ.
- تنص نظرية طالس الثانية على أنه: عندما يقطع خطّان مستقيمان بعضهما البعض، تكون الزوايا المتقابلة بالرأس متساويةً في القياس.
- تنص نظرية طالس الثالثة على أنه: إذا تطابقت زاويتان وضلعٌ من أضلاع المثلث، مع زاويتين وضلعٌ من مثلثٍ آخر؛ يكون المثلثان متطابقين من جميع النواحي.
- تنص النظرية الرابعة لطالس على: إذا رُسم خطٌ مستقيمٌ موازٍ لأحد أضلاع المثلث؛ فسيؤدي ذلك إلى قطع كلا الجانبين الآخرين للمثلث بنفس النسبة، ومعكوس هذه النظرية صحيحٌ أيضًا، إذا كانت جوانب المثلث مقطوعةً بشكلٍ متناسبٍ، فإن الخط الذي يقطع الجانبين يكون متوازيًا مع الجانب المتبقي من المثلث.
- تنص النظرية الخامسة لطالس على: أن الزوايا في قاعدة أي مثلثٍ متساوي الساقين متساويةٌ، وحتى لو تم إنشاء خطوطٍ متوازيةٍ تحت القاعدة؛ تبقى الزوايا في الخطوط الجديدة متساويةً.
- تنص النظرية السادسة لطالس على: أن أي زاويةٍ في مثلثٍ مقابلة لقطر الدائرة هي زاويةٌ قائمةٌ، وتعرف باسم نظرية طالس وسنقوم بشرحها في الفقرة التالية.
نظرية طالس
يمكن صياغة نظرية طالس بطريقتين:
- الطريقة الأولى: تنص على أنه عندما يقع مثلث ضمن دائرة ويكون أحد أضلاع المثلث هو قطر الدائرة؛ فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع هي زاويةٌ قائمةٌ (90 درجة).
- الطريقة الثانية: تنص على أنه إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية، وكانت الزاوية القائمة تقع على دائرةٍ مركزها منتصف الضلع المقابلة للزاوية القائمة فإن الدائرة تحيط بالمثلث وتسمى بدائرة طالس.
برهان نظرية طالس
يوجد العديد من الطرق لإثبات صحة نظرية طالس، منها:
- الطريقة الأولى
أحد أكثر البراهين الكلاسيكية لإثبات نظرية طالس هي وفق ما يلي:
من المعلوم أن AO=BO=CO لأنها جميعًا تشكل نصف قطر الدائرة، بالتالي تكون الزاويتان OAB=OBA وكذلك الزاويتان OBC=OCB لأن كلتاهما زاويتا قاعدة في مثلثٍ متساوي الساقين.
لنفرض أن:
OAB = OBA = α
OBC = OCB = β
ونحن نعلم أن مجموع زوايا أي مثلث 180 درجة، فيكون لدينا:
ABC + BCA + CAB = 180
OAB + (OBA + OBC) + OCB = 180
بالتالي نحصل على:
180 = α +(α+β) + β
ومنه:
2α + 2β = 180
أي:
الطريقة الثانية
يمكننا برهان نظرية طالس من خلال تدوير المثلث بزاوية 180 درجة فينتج لدينا مستطيلٌ، بما أن الشكل الناتج هو مستطيل؛ نعلم أن كل ضلعين متقابلين في المستطيل متوازيان ومتساويان في الطول، وجميع الزوايا الداخلية قائمة؛ بالتالي يكون قياس الزاوية ABC هو 90 درجة.
أمثلة عن نظرية طالس
- مثال 1: ليكن لدينا المثلث ABC واقع ضمن الدائرة وقياس الزاوية ABC = 55 درجة، يمكن إيجاد قياس الزاوية BAC اعتمادًا على نظرية طالس.
بما أن المثلث ABC يقع ضمن الدائرة وأحد أضلاعه هو قطر الدائرة؛ فإنه وفقًا لنظرية طالس تكون الزاوية BCA زاويةً قائمةً، وقياسها 90 درجة، ونحن نعلم أن:
ABC + BCA + BAC = 180
يمكن الآن حساب قياس الزاوية BAC بتعويض قيم الزوايا في العلاقة السابقة:
55 + 90 + BAC = 180
ومنه:
BAC = 180 – 145
- مثال 2: استخدم نظرية طالس لإيجاد مركز الدائرة المارة في رؤوس المثلث.
