ما معنى اللوغاريتمات في الرياضيات وما هي تطبيقاتها؟

تنوعت الرموز والدوال في علم الرياضيات وكان اللوغارتم أحد اشهر هذه الدوال، فهل تعلم ما هو اللوغارتم وما هي تطبيقات استخدامه؟

اللوغاريتم هو عمليّة رياضيّة حسابيّة تقوم بتحديد عدد المرات التي يتم فيها ضرب رقم ما، ويسمى بالأساس، بنفسه للوصول إلى رقم آخر.

وتم الوصول إليها بناءً على عمليات مقارنة تمت بين متتاليات هندسية ومتتاليات حسابية، وفي حال كنت لا تعرف المتتاليات سأوضحها بشكل مختصر في نهاية الإجابة. تحدد اللوغاريتمات كم مرة يجب أن يُضرب عدد يدعى الأساس بنفسه للحصول على عدد آخر، ومثال على ذلك: كم مرة يجب أن يُضرب العدد 2 بنفسه للحصول على العدد 8؟ الجواب ثلاث مرات، ويمكن كتابة ذلك كما يلي:

حيث log رمز اللوغاريتم، 2 الأساس، 8 العدد الذي نرغب بمعرفة كم مرة يجب أن يُضرب الأساس بنفسه للحصول عليه، 3 الجواب، وبالحديث عن الأساس، فإن اللوغاريتم يمكن أن يكون له أي أساس وليس فقط 2 وإذا رأيت log دون ذكر الأساس فيكون هنا 10، وإذا رأيت رمز اللوغاريتم ln فهذا يعني اللوغاريتم الطبيعي وأساسه العدد النيبري …..e=2.71828182845

بالعودة إلى اللوغاريتمات، جاءت كلمة لوغاريتم من كلمتين يونانيتين هما Logos تعني نسبة، و arithmos تعني العدد، تبنى العلماء اللوغاريتمات بسرعة بسبب خصائصها المفيدة المتنوعة، حيث بسطت قبل اختراع الآلة الحاسبة الحسابات الطويلة في الفلك، والملاحة، ولاحقاً في الهندسة.

بالنسبة لتطبيقات اللوغاريتم، فحقيقةً هناك العديد من التطبيقات وهي:

إن المتتالية الهندسية هي مجموعة أعداد ينتج العدد عن سابقه بضربه بعدد ثابت أي كمثال: ليكن لدينا الأعداد 1,2,4,8,16 تشكل هذه الأعداد متتالية هندسية حيث العدد 2 نتج بضرب العدد 1 ب2، والعدد 4 نتج عن سابقه ب2 وهكذا، أما المتتالية الحسابية فهي تشبه الهندسية ولكن الفرق هنا أن الحد ينتج عن سابقه بإضافة عدد ثابت كل مرة أي مثلا مجموعة الأعداد 1,4,7,10,13 تشكل متتالية حسابية حيث 7 تنتج عن 4 مضاف لها 3، وهكذا.

اخترعت اللوغاريتمات في القرن السابع عشر من قبل عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير وكانت اللوغاريتمات في غاية الأهميّة قبل اختراع الآلات الحاسبة حيث كانت  تساعد كثيراً في تبسيط العمليات الحسابية بمختلف أشكالها ولا تزال حتى اليوم من العلاقات المهمة التي تدرس والتي تربط بين التقدم الهندسي والتقدم الحسابي في علوم الرياضيات ومستخدمة في العديد من مجالات الحياة مثل علوم الهندسة وعلم الفلك والملاحة وحساب الزلازل والعواصف الهوائية والحسابات التجارية وغيرها.

اللوغاريتم يتبع للأساس الذي يتم العمل عليه فهناك اللوغاريتم العشري log10   وكذلك اللوغاريتم الثنائي النيببري log2  أو يرمز له بـ ln

مثال: log10 (10)=1     log10(100)=2

إليك مثال حسابي بسيط سيوضح لك عمل اللوغاريتم:

فإذا كان لدينا ورقة وأردنا أن نعرف كم عدد المرات الذي نحتاج فيه طي الورقة للحصول على 64 طبقة

طبعاً في كل مرة نطوي بها الورقة إلى النصف يتضاعف عدد الطبقات، وسوف تستطيع حسابها بشكل سريع بواسطة اللوغاريتم على النحو التالي :

log(x)=y

log2 (64)=y

حيث y هي القيمة العددية التي سيصل إليها الأساس وفي هذا المثال 64

x هو الناتج الذي نريد معرفته

يمكن اعتبار اللوغاريتم على انه المعكوس الأسي وبالتالي:

2x = 64

ويعني أن 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

أي، إذا قمنا بطي قطعة من الورق ست مرات سنصل إلى 64 طبقة

وبالتالي لوغاريتم الأساس 2 ل64 هو 6

Log2(64)=6

تعتمد صيغة اللوغاريتمات على ثلاث خانات رقمية، حيث تكتب في الصيغة التالية: Log(x)= y. الرقم x يعبر عن القيمة المراد وصول الأساس إليها، والرقم y هو الناتج، أما الخانة الرقمية الثالثة فهو الرقم غير الموجود الذي يوضع أسفل اللوغاريتم (أسفل حرف الـ g)، وهو ما يسمى بالأساس، والأساس غالبًا ما يكون 10، لذلك لم يكتب في المثال لأنه الأشهر والأعم، أما إذا كان الأساس مختلفًا فيكتب مكانه بشكل طبيعي.

وبما أني ذكرت لك كلمة الأساس، إذن لابد من وجود أس (الرقم المرفوع أعلى الأساس)، ويكمن الأس هنا في تعريف اللوغاريتم، أي أن اللوغاريتم يدل على الأس او الرقم الذي يجب أن يزداد الأساس وفقًا له لكي يصل إلى رقم آخر (وهو الـ x في الصيغة السابقة).

سوف أخبرك أمرًا يمكن أن تندهش له. من المصطلحات الاقتصادية المتداولة هو مصطلح «معدل الفائدة»، هل سألت نفسك من قبل عن تعريف هذا المصطلح أو مضمونه؟ دعني أخبرك: معدل الفائدة عبارة عن لوغاريتم الزيادة (Growth) في مجال الاستثمار والاقتصاد، أي أن اللوغاريتمات لا يقتصر استخدامها في مجال الرياضيات البحتة، بل إنها تشارك في الكثير من التطبيقات الحياتية.