الأعداد الأولية.. ما هي وكيف أعرف إن كان العدد أوليًا أم لا؟

تعتبر الأعداد الأولية واحدة من أهم المفاهيم الأساسية في علم الرياضيات والأرقام، فهي تلعب دورًا بارزًا في عدة مجالات مختلفة، بما في ذلك التشفير والأمن السيبراني وحتى دراسة الأنماط العددية، يتناول هذا المقال في هذا المقال تعريف مفهوم تلك الأعداد وخصائصها وأهم تطبيقاتها في العصر الحديث.

تُعرف الأعداد الأولية بأنّها أي أعداد صحيحة تحقق شرطين أساسيين، أكبر من الواحد ولا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى العدد واحد، أما الأعداد التي تقبل القسمة على أعداد أخرى بخلاف نفسها والواحد، فتُعرف بالأعداد المركبة، حيث يُعرَّف العدد المركب بأنه أي عدد أكبر من الواحد وله قواسم إضافية غير الواحد ونفسه.

فيما يخص العدد واحد، فهو لا يُصنَّف كعدد أولي ولا كعدد مركب، وكذلك الرقم صفر،  وباستثناء هذين العددين، فإن كل رقم أكبر من الواحد يكون إما عددًا أوليًا أو عددًا مركبًا.

تُعتبر هذه الأعداد أساس علم الأعداد، حيث تلعب دور أساسي في مختلف فروع الرياضيات والتطبيقات الحاسوبية، ومن بين الأعداد الأولية الأولى في سلسلة الأرقام نجد: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29.

هناك طريقتان أساسيتان يمكن من خلالهما تحديد ما إذا كان العدد أوليًا:

تعتمد هذه الطريقة على تحليل العدد إلى عوامله الأولية، على سبيل المثال، العوامل الأولية للعدد هي 1 و10 لكن له عوامل أخرى هي 2 و5، لأن حاصل ضربهما هو 10 وهما غير أوليين، لذا يُعد العدد 10 عددًا مركبًا.

يمكن استخدام العمليات الحسابية والقسمة لاختبار أولية عدد معين، على سبيل المثال، لمعرفة ما إذا كان العدد 57 عددًا أوليًا، يمكن قسمته على 2، فنجد أن الناتج 27.5، وهو عدد ليس صحيحًا، مما يعني أن 57 ليس من مضاعفات 2، لكن عند قسمته على 3، نجد أن الناتج هو 19، وهو عدد صحيح، ما يثبت أن 57 يقبل القسمة على 3، وبالتالي فهو ليس عددًا أوليًا.

عُرف أول عدد أولي منذ العصور القديمة حين قام عالما الرياضيات اليونانيان إقليدس (fl.c.300) قبل الميلاد وإراتوسيتنس (c.276-194) قبل الميلاد بدراستها، وقد أعطى إقليدس أول دليل له على وجود أعداد أولية لا حصر لها، وهناك نتيجتان شهيرتان تتعلقان بتوزيع الأعداد الأولية وتستحقان الذكر هما: نظرية الأعداد الأولية، ودالة زيتا ريمان.

ساعد ظهور الحواسيب والتكنولوجيا في اكتشاف أعداد أولية بملايين الأرقام، وقد كان الاعتقاد السائد أنّ تلك الأرقام لن يكون لها أي تطبيقٍ ممكنٍ، إلا أنّها استخدمت فيم بعد في صناعة شيفراتٍ غير قابلة للكسر ساعدت في جعل مجتمعنا الرقمي الحالي أكثر أمان وحماية.

تُستخدم الأعداد الأولية على نطاق واسع في مجال التشفير، وأبرز مثال على ذلك هو نظام التشفير RSA، إذ يعتمد هذا النظام على اختيار عددين أوليين كبيرين وحسابهما معًا لإنشاء مفتاح تشفير آمن، كلما زاد حجم الأعداد الأولية، زادت صعوبة كسر التشفير.

إذا أراد شخصان تبادل المعلومات المشفرة عبر الإنترنت، فإن أحدهما يمكنه اختيار عددين أوليين كبيرين وحسابهما، ثم مشاركة الناتج علنًا، نظرًا لأن تحليل العدد الكبير إلى عوامله الأولية يتطلب وقتًا طويلًا جدًا حتى باستخدام أقوى الحواسيب، يبقى التشفير آمنًا، مما يجعل RSA من أكثر الأنظمة أمانًا حتى اليوم.

للباحثين والدارسين الذين يحتاجون إلى قائمة بالأعداد الأولية، نقدم فيما يلي جدولًا يحتوي على جميع الأعداد الأولية من 1 إلى 100:

كما يقدم الجدول التالي الأعداد الأولية حتى 1000:

يتوفر الجدول بصيغة PDF للتحميل والاستخدام في الدراسات الرياضية.

ختامًا، إن الأعداد الأولية ليست مجرد أرقام رياضية، بل هي عنصر أساسي في علوم الحوسبة والأمان الرقمي، مع التطور التكنولوجي يظل البحث في الأعداد الأولية مجالًا خصبًا للابتكار والتطوير في التشفير وحماية البيانات.